lemme de Morse: applications

L'application la plus simple que je connaisse du lemme de Morse, c'est celle qui permet de dire qu'un courbe F(x)=0, admet un point double ordinaire (c-à-d que son intersection avec un voisinage de x_0 est l'union de deux arcs paramétrés réguliers, de tangentes en x_0 différentes, penser à XY=0) si x_0 est un point critique (dF en x_0 est nulle) de la courbe (F(x_0)=0) non dégénéré (la hessienne de F en x_0 est non dégénérée.).

Il faut bien comprendre que c'est le deuxième cas le plus simple, le cas où la différentielle étant non nulle étant une application directe du théorème des fonctions implicites (dans ce cas, localement, la courbe est un arc paramétré régulier).

Ça doit pas tenir en cinq minutes, mais probablement en quinze (oui, c'est une remarque d'agrégatif, je sais). Je crois qu'il y a d'autres applications dans le PGCD de Rouvière, et dans le livre de Calcul Diff de Gonnord & Tosel.

Salut E
Si c'est pour l'agreg, je laisserais tomber cette idée. Est-ce que le lemme de Morse est au programme de Spe ? Est-ce que le prof de Spe lambda sait à quoi il sert ? Est-ce qu'il connaît des généralisations du lemme de Morse ?
J'ai fait la bêtise d'exposer des choses que les examinateurs ne connaissaient pas et de répondre à des questions dont ils ne connaissaient visiblement pas les réponses, ça m'a valu 5/20, je te déconseille d'en faire autant. Prends le Gourdon et fait le Gourdon (si le lemme de Morse est dans le Gourdon alors ok).
Sinon le lemme de Morse (à la base) permet de montrer que le flot de gradient à une variété stable de dimension égale au nombre k de v.propres négatives de la Hessienne et de montrer que le passage d'un point critique de Morse correspond en homotopie à l'attachement d'une cellule de dimension k. En fait, il n'est pas nécessaire de connaître le lemme de Morse pour démontrer ce résultat, on peut s'en passer.
C'est expliqué dans le livre de Milnor qui est un classique pour les gens intéressés par les maths pures (topologie, géométrie algébrique, différentielle).
A+,
M.

Le lemme de Morse sert à prouver des choses sur les groupes de de Rham, par exemple qu'ils sont de dimension finie pour une variété compacte (voir le livre de C. Godbillon sur la topologie algébrique).

Mauricio le lemme de Morse est un classique de l'agrég aussi le risque tu évoques est inexistant.

Mais je doute très fort que tu aies un 5 à l'agrég parce que tu as exposé quelque chose que les QUATRE examinateurs ne maitrisaient pas.

Je pencherais plutôt sur une erreur, malheureusement classique, qui consiste à présenter quelque chose hors programme et très difficille alors que ton plan et les réponses aux questions faisaient l'impasse sur des choses classiques : ça a le don d'énerver les examinateurs et ils ont effectivement tendances à saquer dans ce cas.

Mon avis (ce n'est que le mien et je le partage) est que le lemme de Morse doit absolument figurer dans la leçon sur inversion locale et fonctions implicites.

Concernant les applications, je crois qu'elles interviennent vraiment à un niveau qui dépasse de très loin le mien (topologie alg et/ou différentielle). Ceci dit, le théorème parle de lui-même: il dit qu'au voisinage d'un point critique pas trop sale, une fonction lisse est égale à son dvlpt de Taylor à l'ordre 2, modulo l'action d'un petit difféomorphisme.

La démonstration de Gourdon est à mon sens assez lourde, je lui préfère de très loin, en élégance et simplicité, celle qui figure dans le polycopié de Calcul Différentiel de Joseph Le Potier, sans doute dispo à la BU de P6/P7.

L'idée est d'écrire la formule de Taylor au voisinage du point critique:

$f(a+x)=f(a)+q_x(x)$ avec $q_x$ reste intégral qui est en fait une forme quadratique.

Ce qu'on veut, c'est écrire $q_x=q_0\circ \beta$, avec $q_0=H_a f$ hessien de $f$ en $a$, et $\beta$ petit difféomorphisme.

Il reste (ok c'est un peu gonflé...) à définir une bonne fonction sur de bons espaces, s'assurer qu'ellle vérifie les hypothèses du TFI (c'est essentiellement un lemme d'algèbre linéaire), exhiber la fonction implicite, et appliquer le théorème d'inversion locale pour affirmer qu'elle en fait un difféo.


Bonne journée.

NN

Bonjour,

Désolé de sortir largement du sujet, mais je suis un peu surpris par la remarque de Mauricio sur le jury de l'agreg.

Je pensais que c'était plutot l'inverse : présenter des résultats intéressants que le jury ne connait pas et réussir à répondre aux questions était valorisant.

Mauricio, as-tu eu accès au compte rendu de ton oral pour savoir ce qui t'avait été spécifiquement reproché ?

Le lemme de Morse est utilise pour determiner le type topologique d'une variete: on la stratifie a l'aide des ensembles de niveau $\{ f \leq m \}$, o\`u $f$ est la fonction de Morse et $m$ un r\'eel.

On peut montrer que lorsque la th\'eorie s'applique, les ensembles de niveau sont constants entre deux valeurs critiques, et a chaque valeur critique on ajoute une cellule de dimension une de moins.

En geometrie algebrique complexe (mais pas seulement, cf les travaux qui ont mene a la preuve des conjectures de Weil), cela permet d'etudier la topologie d'une fibration de Lefschetz, c'est a dire une application propre $\phi: X \rightarrow \Delta$, o\`u $\Delta$ est le disque unite du plan, et $\phi$ est une submersion en tout point sauf en un point au dessus de 0, qui determine une singularite ordinaire de la fibre en 0. Dit plus prosaiquement $\phi$ determine une famille de varietes, lisses au dessus de $t \in \Delta^*$, et singuliere en un point oridinaire pour $\phi^{-1} (0)$. En fait $\phi$ est ce qu'on appelle en geometrie differentielle une fonction de Morse.

Maintenant la theorie de Morse permet de dire que $X$ a la type topologique d'une fibre lisse (en n'importe quel point de $t \in \Delta^*$ cela n'a pas d'importance) avec une boule qui y est collee dessus le long d'une sphere dite &quotevanescente": en effet quand $t \rightarrow 0$ cette sphere a tendance a se contracter sur un point du au fait qu'une singularite se cr\'ee.
Ceci permet de montrer que les groupes d'homologie de la fibre lisse ne sont pas differents des groupes d'homologie de l'espace ambient, {\bf{sauf}} en un certain degre (qui correspond a la dimension complexe de la fibre). Ceci correspond a l'existence d'une action non triviale de monodromie sur la fibre, mais la ce n'est pas la theorie de Morse qui suffit a l'expliquer.

Bon tout ca pour dire que tu devrais a mon sens te contenter de leur montrer l'exemple tres classique de la bouee munie de la fonction hauteur (un dessin est disponible en principe dans tout livre traitant de theorie de Morse).

Bonjour,

Euh... écrivait:

---

> L'application la plus simple que je connaisse du
> lemme de Morse, c'est celle qui permet de dire
> qu'un courbe F(x)=0, admet un point double
> ordinaire (c-à-d que son intersection avec un
> voisinage de x_0 est l'union de deux arcs
> paramétrés réguliers, de tangentes en x_0
> différentes, penser à XY=0) si x_0 est un point
> critique (dF en x_0 est nulle) de la courbe
> (F(x_0)=0) non dégénéré (la hessienne de F en x_0
> est non dégénérée.).
>
> Il faut bien comprendre que c'est le deuxième cas
> le plus simple, le cas où la différentielle étant
> non nulle étant une application directe du
> théorème des fonctions implicites (dans ce cas,
> localement, la courbe est un arc paramétré
> régulier).


Quelqu'un connait-il une référence pour ce résultat?

Merci d'avance.

Je ne sais pas si on peut parler d'application à proprement parler, mais à mon goût une chose intéressante à dire en illustration du lemme de Morse, c'est que ça justifie plus ou moins les "courbes de niveau" en dimension 2 qu'on dessine un peu toujours à l'arrache : autour d'un point critique, localement et à difféo. près, c'est des cercles ou des hyperboles. Non ?