Esp. Euclidiens: Projeté orthogonal

jérémy2
jérémy2
dans Les-mathématiques
Bonsoir,

Dans une question d'un exo, on pose la chose suivante:

{ \it On note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R^3}$. Déterminer (pour le produit scalaire $\phi$, donné précédemment) la norme de $e_1$ ainsi que le projeté orthogonal de $e_2$ sur la droite $\mathbb{R} e_1$. }

J'ai déterminé la norme de $e_1$ grâce aux questions précédentes, et on trouve que $||e_1||^2=1$.
Cependant, pour la suite, pour le projété orthogonal, notre prof nous l'a corrigé, mais je ne comprends pas du tout sa correction. Pouvez-vous me l'expliquer en détail svp pour que je comprenne sa démarche?

{ \bf Correction: }
{ \it $e_1$ est unitaire donc (???) le projeté orthogonal de $e_2$ sur $\mathbb{R} e_1$ est:
$\phi(e_2,e_1)e_1=(\frac{1}{2},0,0)$.

D'où sort ce calcul? Et pourquoi ce "donc"?

Réponses

  • inconnu
    inconnu
    Bonsoir,

    $e_1$ est un vecteur de la base et comme il est de norme 1 alors il est unitaire.
    (un vecteur untitaire est unvecteur de norme 1 par definition).
    Par contre pour $\phi$ il faudrait savoir comment il est défini avant.
    (Par contre on peut imaginer que $\phi(e_1,e_2)=\frac{1}{2}$ qui represente la coordonnee pour e_1).
  • jérémy2
    jérémy2
    Dans l'énoncé, on nous donnait la forme quadratique, et j'ai alors déterminé la forme polaire $\phi$ correspondante:

    $q(x,y,z) = x^2 +xy +\frac{2}{3}xz + \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{2}yz + \frac{1}{5}z^2$

    $\Longrightarrow \phi(u,v)=\phi((x,y,z),(x',y',z'))=xx'+\frac{1}{2}(xy'+x'y)+\frac{1}{3}(xz'+x'z)+\frac{1}{3}yy'+\frac{1}{4}(yz'+y'z)+\frac{1}{5}zz'$

    Cela éclaire-t-il davantage quelqu'un à présent?
  • kilébo
    kilébo
    Il suffit d'écrire $e_{2} = e_{2} - \phi(e_{2},e_{1})e_{1}+\phi(e_{2},e_{1})e_{1}$ pour comprendre le pourquoi.
  • dl90
    dl90
    Il suffit de remplacer dans ta définition du produit scalaire :
    e1=(1,0,0)
    e2=(0,1,0)
    Seul le terme xy' ne s'annule pas, d'où:
    Psi(e1,e2)=1/2

    [Corrigé (xy') selon ton indication. AD]
  • dl90
    dl90
    desolé il fallait lire xy'.
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