nombres premiers entre eux

harazi · January 2006

Voici un très joli résultat :
Tout ensemble de nombres naturels de densité 1 contient un sous-ensemble infini dans lequel les éléments sont deux à deux premiers entre eux.

borde · January 2006

Une preuve de ce résultat ? Je serais intéressé de la voir ! Je pense néanmoins qu'il faudrait peut-être spécifier de quelle densité on parle, non ?

En tout cas, on définit un {\ìt entier normal} comme étant un entier appartenant à un ensemble de densité (naturelle) égale à $1$.

On a alors établi le curieux résultat suivant : {\it l'ensemble des diviseurs d'un entier normal peut être considéré comme un objet fractal de dimension $\ln 2$}.

Borde.

borde · January 2006

Une preuve de ce résultat ? Je serais intéressé de la voir ! Je pense néanmoins qu'il faudrait peut-être spécifier de quelle densité on parle, non ?

En tout cas, on définit un {\it entier normal} comme étant un entier appartenant à un ensemble de densité (naturelle) égale à $1$.

On a alors établi le curieux résultat suivant : {\it l'ensemble des diviseurs d'un entier normal peut être considéré comme un objet fractal de dimension $\ln 2$}.

Borde (modif latex).

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

je savait que d(A)=1 <=>A=IN

Anass

lolo · January 2006

je construirais bien par récurrence.....encore faut-il le faire

lolo

n1 · January 2006

ce résultat est assez simple à démontrer:

supposons que l'on ait déjà trouvé n éléments de l'ensemble de nombres 2à2 premiers entre eux. Alors on en trouvera un n+1-ième en utilisant le lemme suivant.

Lemme. Pour y fixé, l'ensemble des entiers dont tous les facteurs premiers sont>y a pour densité le produit sur les nombres premiers p<=y de (1-1/p).

Dém. Observer que la fonction caractéristique de cet ensemble d'entiers est périodique de période le produit des p pour p<=y

bob

meldi (mel)0 · January 2006

je vais peut-être (sûrement) avoir l'air d'une cloche mais c'est quoi la densité dont vous parlez ici ? ça se mesure la densité d'un ensemble ?

harazi · January 2006

La densite d'un ensemble $a_1,a_2,...$ est pour ce probleme un nombre $d$ tel que si on pose $x_n=\sum_{a_k\leq n}{1}$ alors $\frac{x_n}{n}$ converge vers $d$

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

On ne peut pas définir une telle densité parce que la suite x_n/n n'est pas nécessairement convergente.
Soit l'ensemble qui contient seulement les éléments entre 2n! et (2n+1)! quand n balaye IN. On ne peut pas définir une tel densité pour cette ensemble.

Anass

bob · January 2006

1. Oui Anass, tu as raison. On ne peut pas toujours définir une telle densité. Mais ce n'est pas en contradiction avec ce que l'on a dit.

2. Je te remercie pth de poser parfois des questions de TAN, pour que j'ai une chance de répondre et paraitre un peu moins ridicule qu'en algèbre!

A+ B

borde · January 2006

...Et merci à toi, Bob, pour le lemme ci-dessus (on voit ton travail sur mes entiers friables).

Pour Rainoussi : si tu relis mon premier message, je demande à Harazi de quelle densité il parle (il en existe plusieurs). En revanche, je ne comprends pas bien ton post de 18h14. Pourrais-tu développer ? Merci.

Borde.

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

Moi je savais avant une seul densité celle définie par :

d(A) = inf ( Card {a<=n, a € A} )/n

donc on voit facilement que d(A)=1 <=> A=IN.

Anass

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

je pense qu'on va procéder comme ça:(par l'absurde)
soit A de densité 1.
supposons que c'est faux
donc soit m le max des cardinaux des sous ensemble de A contenant seulement des nombres deux à deux premiers.et soit B cette ensemble(de cardinal m) soit p1.....ps les nombres premiers qui divise les élements de B ils sont fini( car B contient une finité d'éléments)
d'ou A est inclue dans l'union des Pi*IN i allant de 1 jusqu'au s(si a appartient à A alors s'il est premier avec tous les élement de B absurde avec la maximalité de m) cette derniere est évidement de densité inférieur à 1 ,d'ou l'absurde.

je'ai pas bien rédigé la démo mais je pense qu'elle est juste

Anass

borde · January 2006

Je ne connaissais pas cette densité...En théorie probabiliste des nombres, on utilise surtout (à confirmer par Bob) les densités :

Naturelle
Logarithmique
Analytique
Divisorielle

puis, moins souvent, les densités :

multiplicative
de Schnirelmann.

Borde.

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

pouver vous donner une petite définition pour chaque densité.
et merci d'avance

Anass

bisam · January 2006

Borde : la densité de Schnirelmann est celle que Raissouni anass a donnée.

borde · January 2006

Oui exact, Bisam, je n'avais pas fait suffisamment attention, merci (je ne l'ai jamais utilisée) !

Lorsque les limites existent, on pose :

Densité naturelle : $$\d(\mathcal {A}) = \lim_{x \longrightarrow \infty} \frac {\sum_{n \leqslant x} 1_{\mathcal {a})(n)}{x}.$$

Densité logarithmique : $$d(\mathcal {A}) = \lim_{x \longrightarrow \infty} \frac {\sum_{n \leqslant x} 1_{\mathcal {a})(n)/n}{\ln x}.$$

Densité analytique : $$d(\mathcal {A}) = \lim_{\sigma \longrightarrow 1^{+}} \zeta(\sigma)^{-1} \sum_{n \in \mathcal {A}} n^{- \sigma}.$$

Densité divisorielle : lorsqu'elle existe, c'est l'unique nombre $d(\mathcal {A})$ tel que : $$\sum_{d \mid n, \, d \in \mathcal {A}} 1 = \left ( d(\mathcal {A})+ o(1) \right ) \tau(n).$$

Borde.

borde · January 2006

Oui exact, Bisam, je n'avais pas fait suffisamment attention, merci (je ne l'ai jamais utilisée) !

Lorsque les limites existent, on pose :

Densité naturelle : $$\d(\mathcal {A}) = \lim_{x \longrightarrow \infty} \frac {\sum_{n \leqslant x} 1_{\mathcal {a}}(n)}{x}.$$

Densité logarithmique : $$d(\mathcal {A}) = \lim_{x \longrightarrow \infty} \frac {\sum_{n \leqslant x} 1_{\mathcal {a}}(n)/n}{\ln x}.$$

Densité analytique : $$d(\mathcal {A}) = \lim_{\sigma \longrightarrow 1^{+}} \zeta(\sigma)^{-1} \sum_{n \in \mathcal {A}} n^{- \sigma}.$$

Densité divisorielle : lorsqu'elle existe, c'est l'unique nombre $d(\mathcal {A})$ tel que : $$\sum_{d \mid n, \, d \in \mathcal {A}} 1 = \left ( d(\mathcal {A})+ o(1) \right ) \tau(n).$$

Borde.

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

Merci Borde.
Grace à l'exo de Harazi j'ai démontrer la formule:
$\lim_{m\longrightarrow\infinity} \sum_{n=1}^{m}(-1)^{n)\sum_{i_1,i_2,...,i_n \in \N^{n}}\frac{1}{p_i1 p_i2 ... p_in} =1$

je sais pas s'il existe déja une telle formule.

Anass

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

Merci Borde.
Grace à l'exo de Harazi j'ai démontrer la formule:
$\lim_{m\longrightarrow\infinity} \sum_{n=1}^{m}(-1)^{n)\sum_{i_1,i_2,...,i_n \in \N^{n}}\frac{1}{p_i1 p_i2 ... p_in} =1$

je sais pas s'il existe déja une telle formule.

Anass

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

voila mon message il est invisible si je cache la case de latex.

Merci Borde.
Grace à l'exo de Harazi j'ai démontrer la formule:
$\lim_{m\longrightarrow\infinity} \sum_{n=1}^{m}(-1)^{n)\sum_{i_1,i_2,...,i_n \in \N^{n}}\frac{1}{p_i1 p_i2 ... p_in} =1$

je sais pas s'il existe déja une telle formule.

Anass

Alain Debreil · January 2006

Merci Borde.
Grâce à l'exo de Harazi j'ai démontré la formule : $$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{m}(-1)^n\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n \in \N^{n}}\frac{1}{p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_n}} =1$$ Je ne sais pas s'il existe déjà une telle formule.

Anass

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

N'y a-t-il personne qui l'affirme ?

Anass

bobailleurs · January 2006

Anass,

stricto sensu, ta formule n'a pas de sens car pour chaque n, ta somme multiple vaux + infini...

cordialement

bob

lolo · January 2006

on copie ? (private joke)

lolo

bob · January 2006

eh oui lolodici, tu as peut-etre créé une mode...

bobdelà

bob · January 2006

jédi lolodici et bobdelà, c'était un peu faible; j'aurai pu au moins dire
lolodelà et bobdilan...

bon j'arrête de boire, c'est promis!

chapeau...

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

Oui mes amis vous avez raison mais le probleme est simple cette fois parceque j'ai juste commis une erreur j'ai écrit $I^N$ au lieu de$[1,m]$.
merci pour le modérateur qui va cooriger l'erreur dans la formule!je repose la meme question est ce qu'il ya peronne qui connait déjà une telle formule?
cordialement

Anass

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

Oui mes amis vous avez raison mais le probleme est simple cette fois parceque j'ai juste commis une erreur j'ai écrit $IN$ au lieu de$[1,m]$.
merci pour le modérateur qui va cooriger l'erreur dans la formule!je repose la meme question est ce qu'il ya peronne qui connait déjà une telle formule?
cordialement

Anass

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

un petit détaille p1=2 et (-1)^(n-1) au lieu de (-1)^n et i_1<i_2<...<i_n

Anass

[Anass : Reposte un message complet avec ta formule corrigée, pour que tout le monde comprenne. AD]

borde · January 2006

Rainoussi,

Si j'ai bien compris toutes tes corrections, ta somme en $n$ est un calcul de type crible d'Erathostène (appelé aussi principe d'inclusion-exclusion). On a : $$\sum_{n=1}^{m} (-1)^n \sum_{i_1 < i_2 < ...

borde · January 2006

Rainoussi,

Si j'ai bien compris toutes tes corrections, ta somme en $n$ est un calcul de type crible d'Erathostène (appelé aussi principe d'inclusion-exclusion). On a : $$\sum_{n=1}^{m} (-1)^n \sum_{i_1 < i_2 < ... < i_n \leqslant m} \frac {1}{p_{i_1}...p_{i_n}} = 1 - \prod_{i=1}^{m} \left ( 1 - \frac {1}{p_i} \right ).$$ On applique alors le {\bf second théorème de Mertens} (ici sous forme faible suffit) qui s'écrit : $$\prod_{p \leqslant x} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right ) \sim \frac {e^{-gamma}}{\ln x}$$ (lorsque $x \longrightarrow \infty$), qui et implique que le produit ci-dessus tend vers $0$ lorsque $m$ tend vers $\infty$.

Borde.

borde · January 2006

Rainoussi,

Si j'ai bien compris toutes tes corrections, ta somme en $n$ est un calcul de type crible d'Erathostène (appelé aussi principe d'inclusion-exclusion). On a : $$\sum_{n=1}^{m} (-1)^n \sum_{i_1 < i_2 < ... < i_n \leqslant m} \frac {1}{p_{i_1}...p_{i_n}} = 1 - \prod_{i=1}^{m} \left ( 1 - \frac {1}{p_i} \right ).$$ On applique alors le {\bf second théorème de Mertens} (ici sous forme faible suffit) qui s'écrit : $$\prod_{p \leqslant x} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right ) \sim \frac {e^{- \gamma}}{\ln x}$$ (lorsque $x \longrightarrow \infty$), qui et implique que le produit ci-dessus tend vers $0$ lorsque $m$ tend vers $\infty$.

Borde (correction latex effectuée. Bonne année aux modérateurs).

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

<center><IMG WIDTH="343" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/7/76045/cv/img1.png" ALT="$ \displaystyle \lim_{m\to\infty}\ \sum_{n=1}^{m}\ (-1)^n \sum_{1\leq i_1<i_2\ldots<i_n\leq m}\frac{1}{p_{i_1}p_{i_2}\ldots p_{i_n}}=1$"></center>
 
 avec la convention <IMG WIDTH="47" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/7/76036/cv/img2.png" ALT="$ p_1=2$">.
 
 Anass

borde · January 2006

Rainoussi : as-tu lu ma réponse ?

Borde.

RAISSOUNI Anass1 · January 2006

Oui c'est ça. Malheureusement je ne connais pas ce résultat avant, mais heureusement je l'ai démontré moi-même et sans passer au deuxième théorème de Mertens.

Anass

borde · January 2006

Tu peux te passer de ce théorème de Mertens, dont la vraie difficulté est d'obtenir la constante $e^{- \gamma}$ au dénominateur. Mais si tu sais démontrer que $$\sum_{p \leqslant x} \frac {1}{p} > \ln \ln x - 1$$ (preuve niveau classe prépa math spé), alors : $$\prod_{p \leqslant x} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right ) = \exp \left ( \sum_{p \leqslant x} \ln ( 1 - 1/p) \right ) \leqslant \exp \left ( - \sum_{p \leqslant x} \frac {1}{p} \right ) \leqslant \frac {e}{\ln x},$$ ce qui est suffisant pour ton problème.

Borde.