Développement Limité

jérémy2
jérémy2
dans Les-mathématiques
Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dans lequel j'ai les deux questions suivantes:

{ \bf 1°) } { \it Déterminer $\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x})$. }

{ \bf 2°) } { \it Déterminer le signe de $(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}-\frac{1}{2})$. }


Pour la première question, pas de problème, en mettant tout au même dénominateur, et en faisant quelques DL, on obtient que la limite est $\frac{1}{2}$.

Par contre, en ce qui concerne la seconde question, quelques petits problèmes... Le prof nous a dit de partir comme cela:

On considère à part $\frac{1}{ln(1+x)}$
Et on part comme cela, en faisant un DL:

$\frac{1}{ln(1+x)} = \frac{1}{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^3 \epsilon(x)} = \frac{1}{x}[\frac{1}{1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+x^2 \epsilon(x)}]$

Mais ensuite je ne vois pas comment poursuivre ... pouvez-vous m'y aider?
Merci d'avance.

Réponses

  • B_J
    B_J
    utilise le DL de 1/(1+u) avec u=-x/2 + x²/3 +x²e(x)
  • jérémy2
    jérémy2
    Merci de la réponse B_J .. Mais comment cela avancera le calcul? C'est peut-être trivial, mais je ne vois pas trop ...
  • Glat0
    Glat0
    Si je ne me trompe pas tu auras une expression de la forme :
    $ \frac{1}{x}[1+a_1 x+a_2 x^2+o(x^2)]-\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=a_1-\frac{1}{2}+a_2 x + o(x)$

    ...qui devrait te permettre de trouver la limite cherchée.
  • jérémy2
    jérémy2
    Mais je ne cherche pas de limite ...
  • jérémy2
    jérémy2
    Et de plus, que faites-vous du numérateur $1$??
  • B_J
    B_J
    on sait que :
    1/(1+u)=1-u+u²+u²e(x) lime(x)=0 qd x--->0
    pour u=-x/2 + x²/3 +x²e(x) on aura:
    1/(1+u)=1-(-x/2 + x²/3 +x²e(x))+(-x/2 + x²/3 +x²e(x))² et apres developpement et simplification tu auras:
    1/(1+u)=1+x/2+x²/3+x²/4+x²f(x) (tous les termes de degré>2 on les regroupe avec e(x) pour donner f(x)---->0 qd x---->0)
  • jérémy2
    jérémy2
    D'accord, mais dans mon cas, je ne cherchais pas une limite, mais le signe de l'expression ...
  • B_J
    B_J
    maintenant , 1/ln(1+x)=(1/x)*(1/(1+u))=1/x +1/2 +7x/12+xg(x) donc
    1/ln(1+x)-1/x-1/2=7x/12+xg(x) qui est positif si x>0 et negatif si x<0
  • racinedecheveux
    racinedecheveux
    Bonjour!
    Voilà comment je ferais:
    Deja il apparaitrait que la question 1 et 2 soient tres liees, tu ne trouves pas?
    Je vais repondre d'abord à la question 1
    on veut determiner:
    $\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x})$
    on va faire un $DL_3(0)$ de $h(x)=\frac{1}{ln(1+x)}$
    $h(x)=\frac{1}{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
    $h(x)=\frac{1}{x}[\frac{1}{1-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3}+o(x^3)]$
    $h(x)=\frac{1}{x}[1-(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3})+(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3})²]$
    $f(x)=\frac{1}{x}[(1-1)+\frac{x}{2}-\frac{x²}{12}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)]$
    $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)$
    donc finalement
    $\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x})=\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)=\frac{1}{2}$
    question 2:
    On pose $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}$
    Une etude de fonction de g (definie sur ]-1;+00[)
    montre que g est strictement decroissante
    maintenant on fait un DL en 0 de g(x); donc on obtient:
    $g(x)=-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)$
    donc $\lim_{x \rightarrow 0}g(x) = 0$
    et de plus pour x>0 lim de x tend vers 0 est 0 par valeur negative
    et pour x0 pour $x\in$ ]-1;0[
    et g(x)
  • racinedecheveux
    racinedecheveux
    Bonjour!
    Voilà comment je ferais:
    Deja il apparaitrait que la question 1 et 2 soient tres liees, tu ne trouves pas?
    Je vais repondre d'abord à la question 1
    on veut determiner:
    $\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x})$
    on va faire un $DL_3(0)$ de $h(x)=\frac{1}{ln(1+x)}$
    $h(x)=\frac{1}{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
    $h(x)=\frac{1}{x}[\frac{1}{1-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3}+o(x^3)]$
    $h(x)=\frac{1}{x}[1-(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3})+(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3})²]$
    $f(x)=\frac{1}{x}[(1-1)+\frac{x}{2}-\frac{x²}{12}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)]$
    $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)$
    donc finalement
    $\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x})=\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)=\frac{1}{2}$
    question 2:
    On pose $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}$
    Une etude de fonction de g (definie sur ]-1;+00[)
    montre que g est strictement decroissante
    maintenant on fait un DL en 0 de g(x); donc on obtient:
    $g(x)=-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)$
    donc $\lim_{x \rightarrow 0}g(x) = 0$
    et de plus pour x>0 lim de x tend vers 0 est 0 par valeur negative
    et pour x0 pour $x\in$ ]-1;0[
    et g(x)
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonjour !
    Voilà comment je ferais :
    Déjà il apparaîtrait que la question 1 et 2 soient très liées, ne trouves-tu pas ?

    Je vais répondre d'abord à la question 1. On veut déterminer : $$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right) $$ on va faire un $DL_3(0)$ de $h(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}$
    \begin{align*}
    h(x) &=\frac{1}{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)} \\
    &=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3}+o(x^3)}\right) \\
    &=\frac{1}{x}\left(1- \left(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3}\right) + \left(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3} \right)^2 +o(x^3)\right) \\
    f(x) &=\frac{1}{x}\left( (1-1)+\frac{x}{2}-\frac{x²}{12}-\frac{x^3}{3}+o(x^3) \right) \\
    &=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3} +o(x^3)
    \end{align*} donc finalement
    $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\right)= \lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{2}-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)\right) = \frac{1}{2}$

    Question 2 : On pose $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}$
    Une étude de fonction de $g$ (definie sur $]-1;+\infty[$ ) montre que $g$ est strictement décroissante.
    Maintenant on fait un DL en 0 de $g(x)$, donc on obtient : $$g(x)=-\frac{x}{12}-\frac{x²}{3}+o(x^3)$$ donc $\lim\limits_{x \to 0}g(x) = 0$
    et de plus pour $x>0,\ \lim\limits_{x \to 0}$ est 0 par valeur négative
    et pour $x0$ pour $x\in ]-1;0[$
    et $g(x)
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Racine...

    Fais attention, tune gères pas correctement tes "$o(x^n)$" : \begin{align*}
    h(x) &=\frac{1}{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)} \\
    &=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3}+\textcolor{red}{o(x^2)}}\right) \\
    &=\frac{1}{x}\left(1- \left(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3}\right) + \left(-\frac{x}{2}+\frac{x²}{3} \right)^2 +o(x^2)\right) \\
    f(x) &=\frac{1}{x}\left( (1-1)+\frac{x}{2}-\frac{x²}{12}-\textcolor{red}{\frac{x^3}{3}}+o(x^2) \right) \\
    &=\frac{1}{2}-\frac{x}{12} +\textcolor{red}{o(x)}
    \end{align*}
    Lorsque tu mets $x$ en facteur tu as $o(x^3) = x.o(x^2)$
    et lorsque tu divise par $x$ tu as $\frac{1}{x} . o(x^2) = o(x)$

    Alain
  • racinedecheveux
    racinedecheveux
    Bonjour !
    Merci pour cette correction Alain Debreil.
    Non je ne les gère pas du tout... Pas de cours, donc pas de maîtrise absolue... En revanche je vais retenir ce que tu as écris plus haut.

    Amicalement :)
  • jérémy2
    jérémy2
    Je n'ai jamais vu la notation $ o(x)$ pour le reste. Comme je l'ai mis, nous, on utilise $\epsilon(x)$ qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$. Quel est la différence entre les deux notations?
  • jp8
    jp8
    $o(x^n)=x^n\varepsilon(x)$ où $\varepsilon(x)$ tend vers 0 au voisinage de 0.
  • *.*1
    *.*1
    $$o(x^n)$ signifie : $x^n \epsilon(x)$$ avec : $$\lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) = 0$$

    bonne nuit!
  • *.*1
    *.*1
    pas idée de jouer autant la loose! :)
    définitivement bonne nuit!
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