Intégrale avec dérivée partielle

racinedecheveux · April 2006

Bonjour!
On a ce resultat avec les fonctions de $\R \Longrightarrow \R$
$\int_{a}^{x} f'(t)dt= f(x)-f(a)$
donc si f(a)=0 ;on obtient:
$\int_{a}^{x}f'(t)dt= f(x)$
donc à partir de la derivee on a su retrouver la fonction.
Maintenant on prend une fonction de $\R² \Longrightarrow \R$
à partir de :
$\frac{\partialf}{\partialx}$ et $\frac{\partialf}{\partialy}$
comment peut on retrouver f(x,y)?
merci d'avance

amicalement

Pilz0 · April 2006

C' est possible en effet

$f(x)=f(a)+\int_0^1 Df((1-t)a+tx).(x-a) dt$ c'est la formule de Taylor reste intégrale .

Alain Debreil · April 2006

Bonjour !
On a ce résultat avec les fonctions de $\R \rightarrow \R$
$\int_{a}^{x} f'(t)\mathrm dt= f(x)-f(a)$
donc si $f(a)=0$, on obtient : $\int_{a}^{x}f'(t) \mathrm dt= f(x)$
donc à partir de la dérivée on a su retrouver la fonction.
Maintenant on prend une fonction de $\R² \rightarrow \R$
à partir de : $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ comment peut on retrouver $f(x,y)$ ?
Merci d'avance
Amicalement

bisam · April 2006

De manière plus physicienne (pour intégrer un gradient, par exemple, quand on recherche un potentiel...), on peut faire aussi comme ceci :

On intègre df/dx (j'ai la flemme de mettre des "d ronds") par rapport à x en disant que la constante d'intégration est une fonction g de y seulement.
Ensuite, on dérive le résultat obtenu par rapport à y et on compare avec df/dy pour obtenir une équation différentielle en g(y).
On intègre... et voilà le travail.

Pour s'assurer de l'existence d'une solution, il faut vérifier les conditions de (mince, j'ai oublié le nom !).

Intégrale avec dérivée partielle

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion