construction de N

Je dis peut-etre une connerie mais l'existence de N ne vient pas des axiomes de Peano?

Consultez le Mérindol de toute urgence... Lol

bonjour


La bonne construction se fait dans ZF ,donc sans l'axiome du choix,ce qui complique passablement: à reserver aux amateurs de logique.


Les axiomes de Péano ne caractérisent pas N:il existe des modèles non standards.


Si l'on ne se préoccupe pas de non contradiction,on peut faire une construction axiomlatique directe.
Voir le livre de P.Tauvel:mathématiques générales pour l'agrégation



Cordialement

Bonjour

voila ce que je faisais en sup dans les années 68-74:

on part de l'axiome d'existence d'un ensemble infini ( i.e ensemble E tel qu'il existe une injection de E dans E non surjective)

on demontre alors

1.il existe un ensemble N ordonné tel que
a) toute partie non vide admet un plus grand élément
b)N n'admet pas de plus grand élément
c)Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément

2.Si N et N' sont deux ensembles possédant les propriétés a,b,c, il existe un isomorphisme et un seul d'ensemble ordonné de N sur N'

3. par def un ensemble N verifiant a,b,c est appelé ensemble d'entiers naturels

et tout se déroule simplement..
N est totalement ordonné
N admet un plus petit élément noté 0
N est un ensemble infini
( pour cela on definit n* successeur de n : plus petit élément strictement superieur à n et on contemple f:n->n* ( n* futur n+100)
f est une injection stricte)
principe de récurrence
(théoréme : toute partie stable de N par f et contenant 0 est égale à N

caracterisation des parties finies de N
on a equivalence pour A partie non vide de n de
1.A est finie
2.A est majorée
3.A admet un plus grand élément

etc. etc...

Oump.

bonjour

a un oral de capes, je suis tombé sur la lecon construction de Q alors j'ai fait un truc du genre

on considere E=N*Z quotienté par la relation d'equivalence
(x;y)~(x';y') ssi xy'=yx'
etc

et pendant l'entretient on m'a demandé "pourquoi doit-on considerer le quotient de N*Z" ;

ca m'a surpris parce que ca me parait évident mais pour le justifier rigoureusement je ne sais pas (j'avais bredouillé qqchose du genre "sinon un meme nombre rationel est représenté par plusieurs elements de E" ce qui a entrainé la furie d'un des membres du jury...)

si quelqu'un sait bien le dire ca m'interesse

merci

peut-être surtout parce que les lois définies sur Z x Z* n'ont presque aucune des propriétés que l'on attend et qui sont celles des lois quotients.

A la réfexion, je me demande si Roro ne s'est pas pris les pieds dans le tapis en confondant avec l'unicité du représentant obtenu en prenant la fraction $\alpha = \dfrac p q$ avec $(p,a) \in \Z \times \N^*$ et $p \wedge q = 1$.

Bruno