26

Bonjour,

le nombre 26 a des propriétés surprenantes: Fermat a montré que c'était le seul entier entre un carré (25=5²) et un cube (27=3^3), mettant au défi les matheux de son époque de le prouver. Je viens d'apprendre que de plus:

$$26=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}$$

D'où ma question: quels sont les triplets d'entiers naturels $(a,b,c)$ qui vérifient:

$$a=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^b}{c^n}$$ ?

Sinon, Ramanujan est mort le 26 avril 1920, Tchernobyl: 26 avril 1986, séisme en Asie: 26 décembre 2004...Que de catastrophes ! Je vous rassure: je n'y vois que des coincidences... :-)

Sylvain

Réponses

  • et le 26 avril prochain ta belle mere vient dejeuner le midi. pas de chance.
    lol
  • Le 26 avril on peut se souvenir de Guernica aussi. Triste monde....
  • J'ignorais la date. Effectivement...

    Pour q, je n'ai pas de copine donc pas de belle-mère...Ouf, un malheur évité !:-)
  • Bonjour Sylvain, en fait si $c=2$ alors le résultat est toujours entier!
  • 1+(3+1+4+1+5+9+2]=26
  • Pilz, comment on le démontre ?
  • Demain promis je t' écris la démo
  • Yalcin, je m'étonne que tu aies parfois besoin de moi alors que je ne t'arrive pas à la cheville. Merci en tout cas.
  • La fonction $(x,y)\mapsto$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^x}{y^n}$ n'est-elle pas une généralisation connue de $\zeta$ ?

    Sylvain
  • bonsoir

    si c=2 comme le dit Pilz le résultat a de la série est forcément entier

    si b=0 alors a=1
    si b=1 alors a=2
    si b=2 alors a=6
    si b=3 alors a=26
    si b=4 alors a=150
    si b=5 alors a=1082

    pour démontrer cette propriété il faut partir de la série géométrique avec x < 1

    x/(1-x) = x + x² + x^3 + .......+ x^n +.....

    et par dérivation successive (jusqu'à l'ordre b) par rapport à x on voit apparaître une fraction
    dont le numérateur est un polynôme de degré b en x
    et au dénominateur le binôme (1-x)^(b+1)

    si x=1/2 le degré du numérateur étant inférieur à celui du dénominateur le résultat est forcément entier (la convergence est directe à gauche de a et assez lente)

    cordialement
  • Le 26 avril prochain, des milliers d'élèves verront leur rêve de décrocher une des écoles des mines s'évaporer après l'épreuve 2 de physique et celle de la chimie!! hihi!!
    Bon, assez déconné! Bonne chance à tous les taupins demain!
  • Quel doux et délicieux souvenir ce concours Mines ponts...
    Deux ans déjà....
  • Bonjour,

    pour répondre à la question posée par Sylvain ( 04-23-06 23:36 )
    Cette série est un cas particulier de fonction de Lerch :
    <http://mathworld.wolfram.com/LerchTranscendent.html&gt;
    qui se réduit à un polylogarithme :
    <http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html&gt;
    (formule jointe)4319
  • Bonjour
    26 est aussi l'un des 6 nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube; rien à voir avec la formule du début, je sais, mais en dehors de 1,
    quels sont les autres ? Je ne sais pas mais vous allez les trouver.
  • C'est aussi le numero de section des maths applis au CNU.
  • Bonjour

    Il y a d'autres triplets d'entiers (a,b,c) que ceux qui ont déjà été vus (a,b,2)
    Dans le cas c=3 :
    si b=4 alors a=15
    si b=8 alors a=17295
    si b=12 alors a=141045450
    Il semble que dans le cas c=3, pour que a soit entier il faille que b soit un multiple de 4. (je ne l'ai vérifié que pour b=4, 8 et 12 par la méthode de la dérivée b-ième, comme cela a été déjà indiqué dans le cas c=2).

    On notera que la série infinie peut être ramenée à une série finie, faisant intervenir les nombres eulériens (à ne PAS confondre avec les nombres d'Euler). Voir :
    <http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html&gt;
    La formule jointe montre de toute évidence que le résultat est entier dans le cas c=2, puisqu'au dénominateur on a (c-1)=1, donc tous les termes sont entiers.
    Dans le cas c=3, le dénominateur en (c-1)=2 est donc une puissance de 2, ce qui limite les possibilités de résultats entiers.
    Dand les cas c>3, en raison du dénominateur (c-1)^(b+1) qui n'est plus simple comme pour c=2 ou 3, je doute que le résultat puisse être entier (opinion purement subjective).

    [Correction (remplacement) conformément à tes indications. AD]4323
  • Un mauvais copier-coller à tronqué ma réponse précédente. Le dernier paragraphe était :

    On notera que la série infinie peut être ramenée à une série finie, faisant intervenir les nombres eulériens (à ne PAS confondre avec les nombres d'Euler). Voir :
    http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html
    La formule jointe montre de toute évidence que le résultat est entier dans le cas c=2, puisqu'au dénominateur on a (c-1)=1, donc tous les termes sont entiers.
    Dans le cas c=3, le dénominateur en (c-1)=2 est donc une puissance de 2, ce qui limite les possibilités de résultats entiers.
    Dand les cas c>3, en raison du dénominateur (c-1)^(b+1) qui n'est plus simple comme pour c=2 ou 3, je doute que le résultat puisse être entier (opinion purement subjective).
  • Bonjour
    26 n'est pas le seul entier à pouvoir être développé en suite infinie.
    Une revue a attiré l'attention sur ce nb et avec un ami nous avons cherché les développements des entiers. A la suite du nb je fais suivre le terme général de son développement. Les calculs ont été faits avec les logiciels DERIVE et MATHCAD PRO.
    1 et n/2^(n+1) 2 et n/2^n 3 et n^2/2^(n+1)
    4 et n/2^(n-1) 5 et n^4/3^n+1) 6 et n^2/2^n
    et j'ai ainsi jusqu'à 30.
    Du terme de 1 on passe au terme de 2 en X le terme de 1 par 2.
    Le terme de 27 peut être obtenu en X celui de 9 par le nb 3 mais non en X les termes de 3 et de 9.
    Si on obtient deux développements différents par exemple pour 25 on a les termes 5n^4/3^(n+1) ou (4n^2+n^3)/2^(n+1) qui donnent pour n=10
    24.743 et 23.833 mais pour n= infini tous deux donnent 25.
    Sur EXCEL : calcul de la somme pour n=20 et courbes des 2 développements du nb 3, pour n=15 la précision est à 0.001

    J'ai remarqué que pour
    17 le terme est (5n^2+2n)/2^(n+1)
    19 (5n^2+4n)/2^(n+1)
    21 (5n^2+6n)/2^(n+1)
    et que 17-2=15 19-4=15 21-6=15
    Peut-on avancer que la formule générale est
    a=sigma de 1 infini de (5n^2+(a-15)n)/(2^(n+1), car les calculs la vérifient.
    Je xrois me souvenir que la formule est même valable pour a non entier.

    Les premiers triplets sont : (2,1,2) (6,2,2) (15,4,3) (26,3,2)
    A continuer !
    .KONIEV
  • C'est également le PGCD du nombre de cartes d'un jeu classique et d'un jeu de tarot. (52 et 78)
  • le 26 avril était la date officielle des résultats de l'agreg interne.... en ce qui me concerne, la mauvaise nouvelle est tombée plus tot !
    gabrielle
  • 26²-10 = 666. Aucun intérêt, c'est juste pour sourire.
    Vous avez la démo, de la formule de JJ qui utilise les nombres Eulériens ?
  • 666 un nombre de démon
  • Bonsoir

    l'aire du "domaine" en pièce jointe vaut 26 u² (j'aime bien dire bon anniversaire avec un peu de maths, j'avais utilisé la formule de Pick il me semble)

    sourire
    S
  • (je ne sais pas si la pièce jointe est passée, merci de supprimer ce message le cas échéant)

    S
    26.xls 16.5K
  • Bonjour,

    en utilisant la série finie (celle avec les nombres eulériens), des résultats plus étendus que ceux de mon post précédent sont donnés en page jointe :4326
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