groupe symetrique

chris24 · April 2006

Bonjour
Dans le livre de Patrice Tauvel "algèbre", pour montrer que tout groupe G est isomorphe à un sous groupe de S_G (le groupe symétrique de G)
Il faut considérer s(a): G -> G défini par x -> ax qui est un élément de S_G.
or, s(a) n'est pas injective. Ca ne serait pas plutôt a . x . a^-1 ?
Ensuite, on utilise que G -> S_G défini par a -> s(a) est injective

Ai-je raison ou tort ?
Merci d'avance
chris

romainm1 · April 2006

L'application $s_a:x\in G\mapsto a.x\in G$ est bien injective, mais ce n'est pas un morphisme de groupes (le neutre ne s'envoie même pas sur le neutre), il ne faut donc pas utiliser le noyau - qui n'existe pas - pour montrer l'injectivité.

chris24 · April 2006

okok
merci
chris

oumpapah0 · April 2006

Bonjour

Précisons :

On envoie G dans S(G) groupe des bijections de G sur G ( loi de composition: la composée bien sûr)
par l'application f envoyant a sur la translation à gauche g_a
définie par x->ax
On a bien un morphisme injectif de G dans S(G) d'ou le résultat ( appelé théorème de Cayley)

Les ingrédients du théorème semblent mal compris par chris et romain..

Oump.

groupe symetrique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion