ton plus joli exercice jamais rencontré
dans Les-mathématiques
Bonjour
Pourquoi ne pas profiter de ce site pour donner l'énoncé du plus bel exercice rencontré durant vos riches pérégrinations mathématiques ?
Voici le mien:
Soit n un entier naturel
Soit g le chiffres de 1 dans l'écriture binaire de n
Soit h l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise n!
alors : g+h=n
Résultat dû à Adrien Legendre, je trouve ça très joli
En attendant de lire et (d'essayer) de résoudre les vôtres
Merci
Pourquoi ne pas profiter de ce site pour donner l'énoncé du plus bel exercice rencontré durant vos riches pérégrinations mathématiques ?
Voici le mien:
Soit n un entier naturel
Soit g le chiffres de 1 dans l'écriture binaire de n
Soit h l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise n!
alors : g+h=n
Résultat dû à Adrien Legendre, je trouve ça très joli
En attendant de lire et (d'essayer) de résoudre les vôtres
Merci
Réponses
-
Bonjour,
Apparemment, ton idée n'a pas beaucoup de succès pour l'instant. Pourtant, je la trouve sympa. Pour ma part, je garde un souvenir inoubliable de la démonstration du fait que les sous-groupes de R sont de la forme nZ ou dense dans R.
A propos du nombre de 1 dans la décomposition en base 2 de n, connait-on d'autres formules qui les font intervenir ? -
Bonsoir
ce qui me vient là :
- il existe a et b irrationnels tel que a^b soit rationnel
j'ignore l'auteur, il est beau au sens où il illustre fort bien comment les maths donnent parfois un sens à "il existe"
aimablement
S -
Pour samok, c'est vrai que c'était joli il a été posé sur le forum il n' y a pas longtemps, mais je trouve que l' exo posé sous la forme interrogative est encore mieux : existe t-il a et b irrationnels tels que $a^b$ soit irrationnel.
-
Pilz, s'agit-il de quelque chose dans le gout de e^pi (ou le contraire) est il rationnel? sinon je ne vois pas la référence, dans "mon" affirmative je parlais de a^b rationnel avec a et b irrationnel
aimablement
S -
En fait la réponse au problème est la suivante :
si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est rationnel c'est ok
sinon $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ convient -
bonjour Llolo
Les sous-groupes additifs de IR sont les {aZ,a appartenant à IR et non à Z} et les sous-groupes denses dans IR
Un autre exo plutot géométrique
Trouver tous les triangles dont les cotés s'expriment avec des nombres entiers et qui vérifient périmètre = surface
bonsoir
bs -
$ \left({\sqrt{2}} ^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = 2$
-
Pour pilz : $e^{\ln 2}$ est acceptable aussi.
-
J'ai bien aimé l'exercice consistant à démontrer qu'un parallélogramme dont les sommets ont des coordonnées entières dans un repère du plan et dont l'aire vaut 1 n'admet aucun point de coordonnées entières dans son intérieur privé de l'ensemble de ses sommets.
Sinon, dans un autre registre, je trouve très élégante une preuve du théorème de Cesaro qui dit que :
$\sum u_{n}^{2}$ est convergente implique que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n} u_{k}}{n}=0$ -
Je vous la livre (il y en a sans doute d'autres, mais celle-ci est jolie) :
On munit l'espace vectoriel $(\Bbb{R}^{n},+,.)$ du produit scalaire classique $$, lui conférant une structure d'espace Euclidien.
On considère $(1,...,1),(u_{1},...,u_{n})\in \Bbb{R}^{n}$.
L'inégalité de Cauchy-Schwartz (dont la preuve est assez mignonne aussi !) entraîne que :
$^{2}\leq ||(1,...,1)||^{2}.||(u_{1},...,u_{n})||^{2}$ Ce qui équivaut à :
$(\sum_{k=1}^{n} u_{k})^{2}\leq (\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{2}).n$
En divisant par $n^{2}$ on a :
$(\frac{\sum_{k=1}^{n} u_{k}}{n})^{2}\leq \frac{1}{n}.(\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{2})$.
Or $\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{2}$ converge vers une limite finie quand $n$ tend vers l'infini (hypothèse du théorème), donc le second terme de l'inégalité tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini.
Ce qui achève la preuve... sympa, non ? -
Le code $\LaTeX$ a foiré...
Je retente :
Je vous la livre (il y en a sans doute d'autres, mais celle-ci est jolie) :
On munit l'espace vectoriel $(\Bbb{R}^{n},+,.)$ du produit scalaire classique $\bullet$, lui conférant une structure d'espace Euclidien.
On considère $(1,...,1),(u_{1},...,u_{n})\in \Bbb{R}^{n}$.
L'inégalité de Cauchy-Schwartz (dont la preuve est assez mignonne aussi !) entraîne que :
$((1,...,1)\bullet (u_{1},...,u_{n}))^{2}\leq ||(1,...,1)||^{2}.||(u_{1},...,u_{n})||^{2}$ Ce qui équivaut à :
$(\sum_{k=1}^{n} u_{k})^{2}\leq (\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{2}).n$
En divisant par $n^{2}$ on a :
$(\frac{\sum_{k=1}^{n} u_{k}}{n})^{2}\leq \frac{1}{n}.(\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{2})$.
Or $\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{2}$ converge vers une limite finie quand $n$ tend vers l'infini (hypothèse du théorème), donc le second terme de l'inégalité tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini.
Ce qui achève la preuve... sympa, non ? -
J'aime bien aussi la preuve de l'assertion suivante (sur les nombres de Fermat) :
Un nombre entier de la forme $2^q+1$ est premier implique que $q$ est une puissance de $2$.
Ainsi que leur utilisation dans les nombres constructibles. -
pour suivre le topic sur mon mail
-
peut-etre ,est-il possible de définir plusieurs domaines avant de proposer
de beaux exos :combinatoire,arithmétique,algèbre générale,algèbre
linéaire,analyse réelle,complexe,géométrie plane, dans l'espace,théorie
de Galois,équa diff .....
je pense qu'un joli exo se doit d'avoir un énoncé pas trop long, un résultat
surprenant, et une résolution enrichissante.
deux exemples:
1)en arithmétique :
calcul du pgcd dans IN par l'algorithme d'Euclide,
le nombre de divisions nécessaires est inférieur ou égal à 5 fois le
nombre de chiffres du plus petit nombre; étude du cas d'égalité.
résultat étonnant dû à Gabriel Lamé....la suite de Fibonacci apparait
dans la preuve
2)géométrie du triangle
le cercle d'Euler d'un triangle est tangent au cercle inscrit et aux 3
cercles exinscrits
c'est artistique et c'est le théorème de Feuerbach
Merci à tous les mathernautes -
Je trouve qu'il faudrait peut-être préciser cette "notion" de bel exercice. Peut-être chipotai-je, mais c'est cela qui, jusqu'à présent, m'a empêché de participer à cet intéressant débat. J'ai en effet du mal à déterminer un tel exercice, "plus beau que les autres".
Pour ceux qui me connaissent, il est clair que la théorie des nombres est, pour moi, susceptible de fournir de beaux specimens. Mais tout dépend du niveau : la démonstration du théorème de Bachet-Bézout est un bel exercice, tout comme les extraordinaires idées d'Erdös concernant les fonctions multiplicatives et les petits diviseurs (exo 4.18 de mon livre) en est assûrément un autre.
Remi C : Ton exercice sur le parallélogramme est une application de la formule de Pick, non ?
Borde. -
Je pense que j'ai compris le pb de niveau auquel Borde fait allusion
Par exemple, pour rester dans les nombres de Fermat :
niveau terminale : Montrer que 2 nombres de Fermat sont premiers entre eux
me semble être un joli résultat
niveau maîtrise : mMontrer qu'un polygone est constructible ... ssi ... cf:Gauss
est certainement un résultat plus excitant, mais un sens nécessite la théorie de Galois
Il faut effectivement associer joli exo et le niveau nécessaire pour apprécier le résultat
Merci -
Pour Borde,
Le formule de Pick permet bien sûr de conclure rapidement. (modulo "il faudrait donner la preuve de cette formule"). Mais cette formule contient plus d'information qu'il n'en faut pour cet exercice là.
Cependant, j'ai au moins deux preuves différentes pour cet exercice amusant (n'utilisant pas la formule de Pick). L'une algébrique (qui utilise le déterminant), une autre avec le produit vectoriel, sensiblement identique à la première, et une dernière, ma préférée, qui reste purement géométrique. (que je vous donnerai si vous le souhaitez).
Par ailleurs, vous dites qu'il faudrait préciser quelle est la notion de "bel exercice", cela me semble vain. Cela dépend des goûts de chacun. Ce qui est beau pour vous ne le sera peut-être pas pour moi. Y a t-il de belles choses qui font l'unanimité ? -
En ce qui me concerne, un certain nombre de "paramètres" m'ont empêché de répondre précisément à cette question de "plus bel exercice", beaucoup (trop) de candidats sont possibles si l'on ne précise pas un peu plus ce que l'on veut.
Quant à tes preuves pour le parallélogramme, je suis d'accord pour dire que :
1. Pick la contient, mais on peut faire sans,
2. Produit vectoriel et déterminant, c'est sensiblement la même chose,
3. M'étant occupé dans le passé d'un problème plus général (points entiers proches d'une courbe), je peux dire que l'outil déterminant a un bel avenir dans ce genre de problème, et que les méthodes géométriques, malheureusement, me semblent plus limitées, dès que l'on souhaite généraliser.
A +
Borde. -
Une magnifique idée, vue dans la dernière RMS : si un rectangle est pavé par des rectangles ayant tous un côté de longueur entière, l'un de ses côtés est de longueur entière.
Méthode : considérer l'intégrale double de e^(2*i*pi*(x+y)). -
Bonjour,
J'en ai déjà parlé à plusieurs reprises mais voilà un exercice que l'on a vu en Licence de maths et que j'avais beaucoup aimé (et trouvé très joli).
Le but de cet exercice est de prouver que l'ensemble des nombres premiers $\mathcal{P}$ (dans $ \mathbb{Z}$) est infini.
Pour $a$ et $b$ dans $\mathbb{Z}$, on note $a + b \mathbb{Z}$ la progression arithmétique
$a + b \mathbb{Z}= \{ a + nb ; n \in \mathbb{Z}\}$
1. Démontrer que $\mathcal{B} = \{ a + b \mathbb{Z}; a \in Z, b \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0 \} \}$ est une base de topologie sur $\mathbb{Z}$.
2.1 Soit $b \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0 \}$. Déterminer la réunion des progressions arithmétiques $a + b \mathbb{Z}$ pour $a \in \mathbb{Z}$, $0 \leq a < \vert b\vert$.
2.2 Soit $a + b \mathbb{Z}\in \mathcal{B}$. Démontrer que $a + b \mathbb{Z}$ est fermé dans $\mathbb{Z}$ pour la topologie de base $B$.
3. Soit $\displaystyle{A = \bigcup_{p \in \mathcal{P}} p \mathbb{Z}}$. Déterminer son complémentaire $\Z \setminus A$ et démontrer qu'il n'est pas ouvert.
En déduire que l'ensemble $\mathcal{P}$ des nombres premiers est infini.
michaël.
P.S. : Cette démonstration de l'infinitude des nombres premiers est dûe à Fürstenberg. -
En analyse, il y a celui-ci :
Soit ( E , ll.ll ) un espace vectoriel réel normé.
Montrer que ll.ll est issue d'un produit scalaire si et seulement si
pour tous vecteurs x,y de E on a
llx+yll^2 + llx-yll^2 = 2( llxll^2 + llyll^2 ) -
Pour Borde,
Il est clair que la preuve géométrique de l'exercice permet peu de généralisation, mais dans ce cas précis, elle est plus amusante que l'utilisation du déterminant. (l'idée est de montrer que l'aire d'un triangle non aplati dont les sommets ont des coordonnées entières est plus grande ou égale à $1/2$). Puis de constater qu'un parallélogramme "entier" contenant un point de coordonnées entières en son intérieur (privé de ses sommets) peut contenir en son intérieur au moins 3 triangles "entiers" non aplatis. -
Oui, j'avais pensé à quelque chose comme cela, du moins au début. Quant au dénomination de tels objets, tu as raison, on appelle cela points entiers, triangles entiers, polygone entiers, etc.
A +
Borde. -
Un exo que j'ai trouvé joli, dans les planches d'oraux Mines-Ponts* :
{\bf Montrer que $\R$ et $\R$² ne sont pas homéomorphes }
Indication : Considérer des deux côtés les compacts connexes, ainsi que leur frontière...
(* J-2 pour les écrits !!) -
Un exo que j'ai trouvé joli, dans les planches d'oraux Mines-Ponts* :
{\bf Montrer que $\R$ et $\R$² ne sont pas homéomorphes }
Indication : Considérer des deux côtés les compacts connexes par arcs, ainsi que leur frontière...
(* J-2 pour les écrits !!) -
(pardon pour les deux messages)
-
Moi j'ai vu presque ça (avec $\C$ à la place de $\R^2$) dans un bouquin de topo à ma BU, c'est d'une élégance à couper le souffle.
Sylvain -
Bonjour,
$\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$ ne sont pas homeomorphe parceque $\mathbb{R}$ privé d'un point n'est pas connexe par arc alors que $\mathbb{R}^2$ privé d'un point l'est... C'est plus rapide non :-)
A+ -
Exactement.
-
Je ne conaissais pas, chapeau !
-
Bonsoir
pour moi c'est le souvenir de la classe de 4 éme ou on demontre que ls hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes en constatant que ce sont les mediatrices du triangle forme en menant d'un sommet les paralleles au cote opposé..
Oump. -
Bonsoir
bs je sèche sur votre exercice
j'ai juste écrit :
n = somme de e(k).2^k entre 0 et p
g = somme de e(k) entre 0 et p
h = somme de [n/2^k] entre entre 1 et p
un petit indice s'il vous plait, la démonstration est-elle aussi "jolie" que l'énoncé?
aimablement
S -
Pour Oump, j'ai fait démontrer ce résultat à mes troisièmes à coup de Thalès. Du coup on obtient en même temps que la concourence des hauteurs, la position relative de l'orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit et au centre de gravité (pas le plus bel exercice que j'ai croisé mais une certaine élégance tout de même).
-
Je suis un fan de ces résultats de géométrie élémentaire genre celui qu'a mentionné Oumpapah (mais j'y suis super nul).
Les exos de "Géométrie du triangle" (Sortais) sont bien sympas, en particulier celui sur les triangles inscrits de périmètre minimal. -
Que pensez-vous de celui-ci ?
L'application $\mu : M(n,\Bbb C)\to M(n,\Bbb C)$ définie par $$A\mapsto A\ exp A$$ est surjective !
Il est tout de moi (tout modestement).
Je suis au fond du côté d'Oumpapah. C'est en géométrie élémentaire que l'on trouve son dernier bonheur. Le bonheur n'est fort que s'il est partagé, et la géométrie est un bien commun.
Bon dimanche -
bonjour
il s'agit du critère de préhilbertisabilité de Jordan-Von Neumann
Dans son livre, Sonntag dit qu'il en existe beaucoup d'autres mais c'est le
seul que j'ai rencontré.
y a-t'il un mathernaute qui puisse m'en citer d'autres?
Merci -
J'aime bien celui-ci :
Il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0, et cela en utilisant le théorème de la borne uniforme, qui n'a rien à voir avec Fourier ! -
bonjour,
il me semble qu'il y a de belles choses qui puissent faire la quasi-unanimité ; par exemple en vrac :la Joconde, la 7ème de Beethoven,les
équations de Maxwell, Michele Pfeiffer dans le Parrain 2,la Déclaration des
droits de l'Homme,la loi de réciprocité quadratique,l'aurige de Delphes,
un chateau Yquem 1982,certains dribbles de Zidane,un repas à la Tour
d'Argent,le Lac de Lamartine...
pour revenir à la question ,il s'agit de l'exercice que tu as trouvé personnellement le plus mieux, c'est évidemment un choix subjectif
mais renforcé par ton expérience de mathématicien
par exemple ,en analyse , je suis tombé sous le charme de:
désolé ,il va falloir que je me mette au latex:
somme de 0à1 de dx/X^x = sigma de n=1 à infini de 1/n^n
je reconnais que c'est nettement moins beau comme ça, mais écrit avec les symboles ,c'est vraiment top -
Alors avec les symboles : $\displaystyle{\int_0^1 \frac{dx}{x^x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^n}}$.
-
C'est drôle, bs ; il me semblait bien connaître les trois "Parrain", mais je n'y vois pas Michelle Pffeiffer, tu ne confonds pas avec "Scarface" ? :-))
Bruno -
Voici un autre exercice d'algèbre linéaire que je trouve bien joli.
(Je fais nettement distinction entre résultat ou théorème joli et exercice joli.)
Montrer que le rang classifie les classes de similitude de rang 1. -
Bonjour.
A propos des matrices, il me revient à l'esprit le résultat suivant :
tout hyperplan de $M_n(R)$ contient une matrice inversible.
J'avais trouvé la preuve très intéressante.
Cordialement RR. -
Montrer qu'une application continue de $[0,1]$ dans lui-même admet un point fixe.
C'est tout simple et tout beau. -
Montrer qu'une application continue de $[0,1]$ dans lui-même admet un point fixe.
C'est tout simple et tout beau. -
Montrer qu'une application continue de $[0,1]$ dans lui-même admet un point fixe.
C'est tout simple et tout beau. -
Pour Gilles et Poule Hardy, auriez vous des références pour vos superbes exos, vu qu' en ce moment je suis à l' affut de tout ce qui pourrait faire un dvp d' agrég... merci
-
bonjour Bruno
eh oui c'est Scarface,mais ça fait pas un dvt pour l'agreg !! -
Pour imiter Oump dans la simplicité je retiendrai la démonstration du Théorème des Trois Perpendiculaires.
Pourquoi ?
D'abord parceque la dénomination me semble mystérieuse, poétique..
Ensuite parceque la démonstration bien conduite et expliquée aux élèves doit les faire entrer avec bonheur dans le monde de la géomètrie -
Pour Raymond,
Tout hyperplan de matrices contient une base formée de matrices inversibles...
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Bonjour!
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