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Dro · April 2006

Bonjour,

J'aimerais savoir pourquoi l’ensemble des points qui définissent un objet de dimension n-1 dans $R^n$ (une droite dans $R^2$ par exemble) est de mesure nulle par rapport à la mesure produit.

Merci !

jérémy2 · April 2006

Parce que zéro fois l'infini égale zéro en théorie de la mesure !
Plus sérieusement, qu'appelles tu objet de dimension n-1? Si tu parles d'une sous-variété de dimension n-1, par exemple, elle est localement difféomorphe à un hyperplan.
La mesure d'un hyperplan est nulle parce que c'est la réunion des ensembles
[-n,n]*...*[-n,n]*{0} (dans la bonne base)
tous ces ensembles sont de mesure nulle, donc leur réunion dénombrable aussi.

jérémy2 · April 2006

Parce que zéro fois l'infini égale zéro en théorie de la mesure !
Plus sérieusement, qu'appelles tu objet de dimension n-1? Si tu parles d'une sous-variété de dimension n-1, par exemple, elle est localement difféomorphe à un hyperplan.
La mesure d'un hyperplan est nulle parce que c'est la réunion des ensembles
[-n,n]*...*[-n,n]*{0} (dans la bonne base)
tous ces ensembles sont de mesure nulle, donc leur réunion dénombrable aussi.

LIautard4 · April 2006

Bonjour

Pour une droite de R^2 c'est facile a voir

on considére un segment borné sur la droite il est de mesure nulle

la droite étant une réunion dénombrable de ségment bornés disjoints elle est de mesure nulle

Cordialement

Dro · April 2006

Oui, je parlais bien d'une sous-variété de dimension n-1.

Qu'en est-il de l’ensemble des points qui définissent une courbe dans $R^2$, mais qui ne serait pas une variété ?

Dro · April 2006

Une sous-variété je voulais dire.

gnome · April 2006

Tout dépend de ce que tu appelle une courbe : par exemple, il existe une application continue surjective de [0,1] dans [0,1]x[0,1], donc l'image sera de mesure 1.

Si on prend quelque chose de raisonnable, ça sera de mesure nulle (raisonnable étant probablement de classe C1, mais en fait je ne sais pas trop)

Après, tu peux définir ce que c'est qu'un "objet" de dimension 1, via la mesure de Hausdorff, et il aura une mesure nulle (pour la mesure ambiante), mais ça devient un peu compliqué.

Dro · April 2006

Merci à tous (Jérémy, LIautard, gnome) d'avoir pris le temps de me répondre !

Dro · April 2006

Jérémy>
2 ensembles tels qu'il existe un difféomorphisme permettant de passer de l'un à l'autre sont forcément de même mesure ?
Ca reste vrai si les ensembles sont seulement homéomorphes ?

gnome>
&quotTout dépend de ce que tu appelles une courbe"
Par exemple un cercle ou un 8 dans $R^2$ .

Toto.le.zero · April 2006

Llautard a écrit:

"Bonjour

Pour une droite de R^2 c'est facile a voir

on considére un segment borné sur la droite il est de mesure nulle

la droite étant une réunion dénombrable de ségment bornés disjoints elle est de mesure nulle

Cordialement"

C'est un peu de l'escroquerie ce raisonnement, car justement, toute la "difficulté" réside dans le fait que la mesure d'un segment est nulle. Et pour le montrer c'est plutôt subtile, puisqu'on encadre ce segment par un nombre denombrable de carrés qu'on retrecit de plus en plus (on fait tendre l'aire de ces carrés vers 0).

LIautard4 · April 2006

Bonjour

Pour Toto

Ta remarque n' est pas fondée un segment sur une droite est un rectangle

dont un des coté a une longueur nulle

Il suffit de calculer la "surface" du rectangle qui est donné par la définition de la mesure produit, si le segment est pris sur " l'axe des x"et d'utliser l'invariance par rotation et translation, de la mesure pour le cas général

Avant de parler "d'escroquerie" ,il faut se donner le temps de la réflexion

Cordialement

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