Propriété de R : vérification.

oui :
pour tous réels $y$ et $x>0$, il existe un entier $n$ tel que $nx>y$.
la positivité de $x$ est essentielle car si $x\leq 0$, en prenant par exemple $y=1$, tu auras du mal à trouver $n$ répondant à la question.
Un énoncé équivalent à la propriété d'Archimède est : pour tout réel $t$, il existe un entier $n$ tel que $n>t$.

Comme c'est pour tout epsilon, il ne faut pas se focaliser sur le fait que epsilon désigne souvent une quantité "petite".
De plus, ici, l'intérêt de la propriété est qu'elle est vrie pour tout x>0, donc en particulier x très petit (en faisant des sauts très petits on pet quand même dépasser y, même s'il est très grand).

Comme c'est pour tout epsilon, il ne faut pas se focaliser sur le fait que epsilon désigne souvent une quantité "petite".
De plus, ici, l'intérêt de la propriété est qu'elle est vrie pour tout x>0, donc en particulier x très petit (en faisant des sauts très petits on pet quand même dépasser y, même s'il est très grand).

petite précision supplémentaire :
ton raisonnement par l'absurde doit commencer par : supposons qu'il existe des réels $y$ et $x>0$ tels qu'on ait $nx\leq y$ pour tout entier naturel $n$.
(on peut même se limiter au cas $y\geq x>0$ : en effet , il est inutile de démontrer la propriété d'Archimède lorsque $x>y$ : $n=1$ répond à la question).
Alors, pour cet $x$ là, l'ensemble $E$ est majoré par $y$ et il est non vide donc... etc..

Bonjour,

La formulation exacte du théorème d'Archimède est bien la suivante :

$\forall (x,y)\in\R_{+}\times\R$, $\existsn_0\in\N$ tel que $n_0 x>y$

Autrement dit, tout réel y peut-être dépassé par des "sauts" de longueur $n_0 x$, $x$ étant bien un réel positif quelconque arbitrairement choisi à l'avance.

En fait, c'est la positivité de $x$ que j'aimerais confirmer avec vous. Car j'ai aussi un énoncé de ce théorème qui choisit $x$ quelconque.

Merci pour la précision,

Cordialement,

Clotho.

Bonjour Aleg,

Ok. Merci pour la clarification. En fait, je posais cette question suite à la rédaction de la solution de l'énoncé suivant :

Soit $E=\{ nx \, , \, n \in \N \}$, on me demande de démontrer à partir de cet ensemble le caractère archimèdien de $\R$. Autrement dit que $\forall (x,y) \in \R_{+} \times \R, \, \exists n_{0} \in \N$ tel que $n_{0} x > y$.

Je résume les étapes que j'ai bien comprises. Comme souvent dans ce genre d'exercice, on raisonne par l'absurde.

Supposons donc qu'il n'existe pas d'entier $n \in \N^{*}$ tel que $nx >y$ alors $E$ est majoré. Donc il existe un réel $a$ tel que :

$\forall n \in \N^{*}, nx < a$

$E$ étant non vide et majoré, $E$ admet une borne sup que l'on désignera par $\alpha$. On a donc $\alpha \leq a$. Et d'après la caractérisation de la borne sup, on écrit que :

$\forall \epsilon > 0, \, \exists nx \in E \, \, tel \, \,que \, \, \alpha - \epsilon < nx \leq \alpha$

Ensuite, j'avoue honnêtement avoir regardé le corrigé qui est très fait. Ils choisissent de prendre $\epsilon=x$ pour aboutir à une conclusion "absurde" que je comprends très bien, à savoir alors :

Il existe $n_0$ tel que $(n_0+1)x > \alpha$. Ce qui est bien sûr contradictoire avec le caractère borne sup de $\alpha$. Ce que je ne saisis pas trop c'est pourquoi avoir choisi $\epsilon=x$?

Car pour moi, $\epsilon$ est forcément une quantité très proche de 0 alors qu'ici $ x$ peut être aussi grand que l'on veut. Non?

Merci pour l'explication,
Cordialement

[J'ai corrigé ton $\LaTeX$. S'il y a quand même un soucis, fais le savoir sur le topic. md.]

Juste une dernière chose pour ma part sur ce fil, merci à Md (Michael sauf erreur de ma part ..) pour m'avoir corrigé en Latex.

Cordialement,
Clotho

[C'est bien michaël
De rien, c'était avec plaisir. md.]

bonjour clotho,
je reprends l'énoncé de cette propriété d'Archimède :
$$(\forall (x,y)\in \R_{+}^{*}\times\R)\, (\exists n\in \N) \quad nx>y$$.
Lorsque $x>y$ cette propriété est évidente puisqu'alors $n=1$ convient, et ceci {\it quel que soit le signe} de $y$ (mais évidemment, tout en gardant l'hypothèse $x>0$), autrement dit aussi bien pour $x>y\geq 0$ que pour $x>0\geq y$.
Le réel intérêt de la propriété d'Archimède (ie le seul cas où elle n'est pas triviale) est lorsque $y\geq x>0$ où on retrouve son "fondement" géométrique : aussi grand que soit le segment $[0;y]$, je pourrai toujours le recouvrir par un nombre {\it fini} fini de fois le segment $[0;x]$.
j'espère que ça répond à ta question.

PS : ci ça t'intéresse, je peux t'envoyer un chapitre de mon cours d'analyse (en gros niveau L1-L2) sur ces sujets (archimède, bornes sup, topologie de $\R$, etc...), auquel cas tu m'envoies une adresse mail. C'est un poly d'une quarantaine de pages, fichier ps converti en pdf, donc c'est assez lourd (4 Mo environ) ce qui fait que je ne peux pas le mettre sur le forum.