matrices

fido0 · April 2006

Soit E l'espace des matrices nxn à coefficients réels. A partir d'une matrice
A de E on fabrique une matrice f( A ) de E de la manière suivante :
f(A)(i,j) est la trace de la matrice obtenue à partir de A en rayant la ligne i
et la colonne j.
Je sais, comme ça c'est assez gratuit. L'application f est évidemment linéaire, c'est même un endomorphisme de l'espace des matrices de trace nulle.
Je trouve le fait suivant assez curieux :
Le polynôme minimal de cet endomorphisme est X^3 - X !
En clair, faire trois fois f sur une matrice de trace nulle revient à le faire une fois.
J'ai trouvé une preuve assez laborieuse (un bon DM pour mes spés) mais je me demande s'il peut y avoir une raison profonde

Yvarentréengare · April 2006

Si c'est juste, c'est remarquable.

à voir.

fido0 · April 2006

Ben, mes deux pages de preuve ne sont pas nécessairement exemptes
de faute, mais matlab confirme sur tous les essais que j'ai pu faire, alors...

shadow1 · April 2006

si mes calculs sont bon, il suffit de choisir une bonne base de Ker( Tr ).
On choisit donc :
1) les E(i,j) avec |i-j| $\geq$ 2 (cad les matrices de bases, sauf les E(i,i), les E(i,i+1), les E(i,i-1) )

2) Les matrices diagonales par blocs avec un bloc nul, un bloc
1 1
-1 -1
et un bloc nul.

3) Les matrices diagonales par bloc avec un bloc nul, un bloc
0 1
1 0
et un bloc nul

4) Les matrices diagonales par bloc avec un bloc nul, un bloc diagonal (1,-1) et un bloc nul

On vérifie qu'on a une base de Ker(Tr) (bon cardinal: (n²-2(n-1)-n) + 3(n-1) = n²-1, et liberté )

A present, on remarque que c'est une base de vecteurs propres:

1) valeur propre associé: 0
2) vp associée: -1
3) vp associée: 1
4) vp associée: -1 .

On en déduit bien que le polynôme minimal est $X^3-X$. De plus, le polynôme caractéristique est $X^{n^2-3n+2} (X-1)^{n-1} (X+1)^{2(n-1)} $

bon, je ne garantis rien, à 2 jours des concours, je commence à partir en vrille

PS: si un pro du Latex veut bien "expliciter" mes matrices, merci !!!

shadow

shadow1 · April 2006

remarque: si on se place sur Mn(R) entier, alors la matrice unaire (ie avec que des 1) complète cette base de vecteurs propres et fournit la dernière valeur propre: n-1

shadow1 · April 2006

bon on oublie tout ça, c'était, comme prévu, faux

reisacher raymond · April 2006

Bonsoir.
Ce sujet me semble intéressant. Pour n = 3, je trouve "à la main" que :
$f^3(A) = f(A) + 2tr(A)J_3$ ($J_3$ étant la matrice d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1). Par contre, je ne parviens pas à expliciter les coefficients de f(A) pour n quelconque, et donc encore moins trouver les propriétés de f, mis à part que $J_n$ est vecteur propre associé à la valeur propre n - 1. La matrice de f lorsque n = 3, pour un ordre arbitraire de la base canonique donne une matrice d'ordre 9 très creuse. Un "Mapleman" peut-il prendre la relève ?
Cordialement RR.

Max30 · May 2006

matrices

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion