centre de Sn

Bonjour

autre preuve que j'aime bien:

soit n>=3 et k €[1 n] alors il existe s €Sn ayant pour unique point fixe k
( s(k)=k et s permute les n-1 restant: c'est la qu'intervient n>=3)

cela dit si u est un element du centre de Sn
pour k donné avec s defini précédemment
on a uos=sou d'ou s(u(k)=u(s(k)=u(k)
et par suite u(k)=k

Oump.

Bonjour,

Je ne vois pas comment la preuve de Xou montre que le centre est réduit à l'identité.
Chapeau à Oumpapah, moi j'aurais attaqué avec des actions de groupes, etc.

Lebesgue

Bonjour,

J'ai dit "action de groupes" car mon idée était de faire agir Sn par conjugaison sur lui-même, mais en fait j'ai remarqué que j'utilisait le résultat très connu que An est simple (donc ma preuve ne marche que pour n > 4) Alors autant partir de là :
Soit H un sous-groupe distingué de Sn ne contenant pas An. Alors H inter An est distingué dans An donc trivial. Si s1 et s2 sont des permutations de H différentes de l'identité, alors : s1*s2 et s1*s1 sont paires donc égales à l'identité. On en déduit que s1=s2 donc que H est au maximum réduit à deux éléments.
Le centre de Sn est bien un sous-groupe distingué ne contenant pas An, donc il est réduit au maximum à deux éléments. Mais là je suis forcé d'exhiber une permutation du genre de celle de Oumpapah, alors tout ce travail pour rien ? Consolation : Puisque le centre est trivial, un sous-groupe distingué d'ordre deux ne peut exister ; on a donc montré que le seul sous-groupe propre distingué de Sn est An.

Lebesgue