polynôme minimal

bonjour,
c'est très clairement démontré dans le livre de pbs d'Eric Sorosina :
Encore des maths, ediscience pb 10 partie 2
Dans un sens, f cyclique implique poly minimal=(-1)^n (poly caract) ,tu utilises la matrice compagnon assossiée à f dans la base :
{x0,f(x0),.......,f^(n-1)(x0)}
Dans l'autre sens , c'est plus délicat et plus long
Remarque: dans ce pb,on montre aussi que
1) si f admet n vp distinctes, f est cyclique
2) la réciproque n'est vraie que si de plus f est diagonalisable
bon courage ou bon achat
bs

Le sens direct est facile.Si x est cyclique, il existe e tel que (e, ..,x^(n-1)e) forme une base de V, la famille (Id,x,..,x^(n-1)) est libre donc le polynôme minimal est au moins de degré n; et on conclut par Cayley-Hamilton.

Pour le sens réciproque, il suffit de remarquer qu'il existe e tel que le polynôme minimal de x en e (ie le générateur de l'idéal {P(x)(e) ; P polynôme} ) est égal au polynôme minimal de x.
Voici une preuve dans le cas où K est infini (pour le cas fini, ça doit être fait dans Gourdon ou Mneimné-Testard).
On raisonne par l'absurde ; on peut alors décrire V comme réunion de certains des Ker(P(x)) avec P des polynômes de K[X] divisant strictement Px (polynôme minimal de x). On a alors écrit V comme réunion de sous-espaces stricts, d'où la contradiction voulue.