R^2

Si $X$ et $Y$ sont 2 ensembles, on appelle ensemble produit de $X$ par $Y$ l'ensemble noté $X\times Y$ dont les éléments sont les couples $(x,y)$ où $x\in X$ et $y\in Y$.

On note $X^2=X\times X$, $X^3=X\times X\times X$, etc

Si $x=(x_1,x_2)\in\R^2$ on peut considérér plusieurs normes, par exemple la norme euclidienne

$||x||_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

ou encore

$||x||_1=|x_1|+|x_2|$

ou encore

$||x||_\infty=\max(|x_1|,|x_2|)$

Tu peux voir R^2 comme un plan et x comme un vecteur du plan. Dans ces conditions, x admet deux coordonnées notées (x1,x2) . Voilà pourquoi x=(x1,x2).
Pour ce qui est des normes, tu as dû voir qu'une norme est une application N:R^2->R+ qui verifie:
N(x)=0=>x=0 ( le seul vecteur de norme nulle est le vecteur nul)
N(ax)=|a|N(x) (si tu multiplie un vecteur par un reel a, tu multiplies sa norme par |a| )
et enfin N(x+y)<=N(x)+N(y) ( c'est l'inegalité triangulaire )
Il y a donc un tas d'applications verifiant ces conditions. La norme euclidienne est celle qu'on a l'habitude de voir, est celle qui donne des cercles.
Mais on peut aussi considerer l'application N(x)=max(|x1|,|x2|) (si x=(x1,x2). Cette application est une norme ( verifie les conditions precedentes ). Si tu essaies de voir ce que donnes N(x)=1, tu verras qu'on obtiens un carré...


En esperant t'avoir un peu eclairé