convergence série dans un Hilbert

Bonjour,

Comme je l'ai raconté dans un de mes précédent post, j'ai une fonction $f$ de $L^2(D(0,1))$ et une base hilbertienne $(P_n)_n \subset L^2(]-1,1[)$. $f$ peut donc s'écrire
$$
f=\sum_{n,m} \lambda_{n,m} P_n \otimes P_m.
$$
Malheureusement, pour un $p$ donné, je ne peut estimer que les $\lambda_{n,m}$ pour les indices tels que $n+m \le p$. J'estime donc $f$ par
$$
\hat{f}_{1,p} = \sum_{n=0}^p \sum_{m=0}^{p-n} \lambda_{n,m} P_n \otimes P_m
$$
(je ne connais que les $\lambda$ du triangle supérieur gauche de la matrice des $\lambda_{n,m}$), ce qui rend la convergence assez lente comme vous pouvez l'imaginer. Mon idée est la suivante, mais je ne sais pas ce qu'elle vaut.

Je prend $P>p$. Il m'est possible de n'estimer qu'une partie des $\lambda$ sans avoir à estimer tout le monde. Je choisis donc d'estimer les lambdas pour $n,m=0,\dots,P/2$, ce qui correspond au "carré" de largeur $P/2$ inscrit dans la matrice de données. L'estimation devient :
$$
\hat{f}_{2,P} = \sum_{n=0}^{P/2} \sum_{m=0}^{P/2} \lambda_{n,m} P_n \otimes P_m.
$$
Je choisit $P$ pour que le nombre de coeff $\lambda$ à calculer soit à peu près le même. La convergence a-t-elle des chances d'être meilleure ?

Merci de votre aide

Cordialement