Cantor-Bernstein alambiqué

Lebesgue0
Lebesgue0
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Je pense que c'est un problème classique, mais dont je ne suis plus sur de la réponse :
Soit A et B deux trucs.
S'il existe un morphisme injectif de A dans B et un de B dans A , A et B sont ils isomorphes ?

(Spécialiser "truc" par ce que vous voulez - le morphisme étant alors celui de la catégorie de "truc")

Merci

Lebesgue

Réponses

  • Lebesgue0
    Lebesgue0
    Je sais évidemment que c'est faux dans le cas général, mais avez-vous des spécialisations intéressantes où cela est vrai.

    PS : J'étrangle celui qui dit "espace vectoriel de dimension finie"
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    oui si A et B sont des ensembles.
  • Lebesgue0
    Lebesgue0
    J'avais oublié de préciser que cette réponse entrainait aussi une strangulation.
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Entre deux Banach je crois. S'il y a une application linéaire continue bijective entre deux Banach, alors c'est un isomorphisme (récirpoque continue)
  • oumpapah0
    oumpapah0
    entre deux espaces metriques compacts

    oump
  • Lebesgue0
    Lebesgue0
    Oumpapah :
    Je vous accorde qu'un fonction continue et bijective d'un espace topologique compact dans un autre est en fait un homéomorphisme, mais ici il s'agit de deux injections continues. Est-ce que la structure métrique joue un rôle ici ? Quel théorème utilisez-vous ?

    Merci.

    Lebesgue
  • gnome
    gnome
    Hum ... entre Banach, est-ce vrai ? Si on a une bijection continue entre espaces de Banach (et même de Fréchet), alors c'est un isomorphisme bicontinu (c'est le théorème de l'application ouverte).

    Cependant, si on a une injection continue de E dans F, et une injection continue de F dans E, rien ne dit que l'une des deux est une bijection (ensembliste) ... Cantor-Bernstein "classique" nous dit qu'il existe une bijection ensembliste de E sur F, mais alors on ne sait pas si elle est continue, ni même linéaire ...

    Par contre, pour les Hilberts, y'a pas de pas de problème : l'existence des deux morphisme injectifs implique qu'ils ont une base de même cardinal, et alors ils sont isomorphes en tant qu'espaces de Hilbert.

    Ah, j'oubliais, c'est bien sûr vrai dans la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie ;-)

    PS : entre espaces métriques compacts, ça semble pas vrai, contre-exemple : X un segment, Y deux segments disjoints ...
  • a_kh
    a_kh
    Je pense qu'il s'agit du théorème de Cantor Bernstein.
  • oumpapah0
    oumpapah0
    Pour lebesgue

    j'ai tapé un peu vite!

    en fait ( à verifier , je me méfie maintenant!)

    soit E et F metriques compacts si f est une isometrie de E dans F et g une isometrie de F dans E alors en fait il existe h isometrie de E sur F

    ( on est amené à demontrer qu'une isometrie de E metrique compact dans lui meme est en fait une isometrie de E sur E et l'aspect metrique intervient dans le travail avec des suites)

    Oump.
  • oumpapah0
    oumpapah0
    Re,

    bien sur à priori l'aspect metrique intervient avec l'hypothese " isometrie"!

    pour montrer qu'une isometrie f de E metrique compact dans lui meme est en fait surjective on montre que f(E) est dense en etudiant la suite des iteres par f d'un x de E ( on prend une suite extrite convergente et "en remontant " les indices on montre que toute boule centree en x et de rayon e>0 contient un f^no(x) avec no>1)
    f(E) etant ferme car compact , c'est fini.

    ( c'est le moment de rappeler l'exo bien connu donnant le resultat precedent avec une hypothese plus faible: si E est metrique compact
    et si f application de E dans E est telle que , pour tout x et tout y
    on ait d(f(x),f(y))>=d(x,y) en fait on a f isometrie de E sur E.
    on travaille dans le meme esprit)

    Oump.
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