Indépendance linéaire de nombres réels

Bonjour,


Je cherche des références concernant l'indépendance linéaire de certains nombres réels sur le $\Q$-espace vectoriel $\R$.

Par exemples des endroits où l'on parle de familles de nombres comme $\{ \cos n : n \in \N \}$, $\{ \sqrt{p} : p \text{est premier} \}$ ou même $\{ e, \pi \}$, qui pose beaucoup de problèmes...

Ces choses sont à la fois fascinantes et très frustrantes car établir de tels résultats est très dur voire même pas encore fait alors que {\it ``intuitivement'', ça a l'air vraiment impossible} que, par exemple, $\frac{\pi}{e}$ soit un nombre rationnel !

J'ai pas trouvé grand-chose sur le web donc je suis très avide d'infos.


Merci d'avance !

Réponses

  • Les seules choses que j'ai trouvées sont :

    - Tout ce qui concerne l'irrationallité et la transcendance de nombres radicaux, e, pi, etc, des choses pour lesquelles pas mal de documentation existe. (C'est en effet lié au message d'avant car, par exemple, dire que {1,pi} est une famille libre revient à dire que pi est irrationnel.)

    - Le site de Michel Waldschmidt : <http://www.math.jussieu.fr/~miw/texts.html&gt; (en fouillant on doit trouver certaines choses car Lang et Waldschmidt s'intéressaient pas mal à ce genre de problèmes, il me semble).

    - Des livres ? J'ai rien pu feuilleter d'intéressant qui parle de ça.


    Si vous avez des idées de preuves pour, par exemple la famille des racines de nombres premiers, ou d'autres trucs du même genre, je suis également preneur.

    Merci encore.
  • Pour l'indépendance des racines de nombre premiers, y'a une preuve sur le site de David Madore.
  • Tu peux essayer aussi les articles de T. Rivoal et/ou le livre de Baker : <I>Transcendental number theory</I>, chez Oxford.
    <BR>
    <BR>Borde.<BR>
  • Merci beaucoup pour ces deux réponses consisantes.


    Si ça intéresse quelqu'un d'autre :

    Le site de T. Rivoal : <http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal&gt;

    Un rapport sur le fait qu'au mois un des nombres zeta(3), zeta(5), zeta(7) et zeta(9) est irrationnel : <http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303066.pdf&gt;

    Le document de D. Madore dont parle Guimauve : <http://www.madore.org/~david/math/super.dvi&gt;


    Je trouve ça dingue que Rivoal ait montré des résultats aussi importants dans sa *thèse* ! Regardez le sommaire ! <http://tel.ccsd.cnrs.fr/docs/00/04/60/66/PDF/tel-00004519.pdf&gt;
  • $\Zeta(3)$ est irrationnel on le sait depuis Roger Apéry en 1979 je crois.

    Concernant les $\sqrt{p_i}$ je crois que la démonstration n'est pas trop compliquée, on l' a vu cette année en prépa agrég.

    Sinon c'est vrai que c'est fou on n'y connais pas grand chose dans ce domaine. Je crois que l' on ne sait pas si $\pi+e$ est irrationnel.
  • On sait seulement que $\pi + e$ ou $\pi - e$ est irrationnel car si les deux étaient rationnels, on aurait que leur somme (qui vaut $2\pi$) est rationnelle, ce qui est faux.
  • c'est vrai, je crois que l' on ne connait pas la nature de $\pi^e$...
  • Sans parler de $\gamma$...

    Sylvain
  • Eh oui, c'est très frustrant tout ça...

    Le théorème de Gelfond-Schneider fournit une réponse pour e^pi.
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