une inégalité

bonjours, je cherches à demontrer l'inegalité

$$ \frac{1}{a_1} + ...\frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} < 4 ( \frac{1}{a_1} +...+\frac{1}{a_n}) $$

Réponses

  • Je ne me rappelle plus les détails, mais il y a un astucieux Cauchy-Scwharz là-dessous. Je vais essayer de retrouver ça dans mes archives.
  • je m'excuse la suite $a_n$ est croissante de valeurs strictement positives
  • Bonjour Hassan
    Je ne comprends pas le terme de gauche de l'inégalité.
  • merci dadi

    $$ \frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 +a_2} +...+ \frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} < 4 ( \frac{1}{a_1} +...+\frac{1}{a_n}) $$
  • J'ai griffoné en 3 minutes une méthode par récurrence qui semble marcher, en prenant an comme variable de la fonction différence, et en dérivant.
    C'est pas des plus élégants.
  • C'est une idée complètement en l'air, mais puisque la fonction $\frac{1}{x}$ est concave, ça fait aussi un peu penser à Jensen.
  • Carrément stupide comme idée d'ailleurs, vu que Jensen s'applique dans le mauvais sens.
  • C'est une très très belle inégalité :)


    L'idée est de trouver une suite $b_n > 0$ telle que

    $\displaystyle \frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 +a_2} +...+ \frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} < 4 ( \frac{1}{a_1} +...+\frac{1}{a_n}) - b_n $

    et de raisonner par récurrence.

    Je te laisse chercher un peu (et puis il faut que je retrouve le bon $b_n$ ;))
  • La même en LaTeX:

    Auteurs: tµtµ (---.w86-205.abo.wanadoo.fr)
    Date: 04-19-06 22:11

    C'est une très très belle inégalité :)


    L'idée est de trouver une suite $b_n > 0$ telle que

    $\displaystyle \frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 +a_2} +...+ \frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} < 4 ( \frac{1}{a_1} +...+\frac{1}{a_n}) - b_n $

    et de raisonner par récurrence.

    Je te laisse chercher un peu (et puis il faut que je retrouve le bon $b_n$ ;))

    Sylvain
  • poser k_i=ai/a(i+1) 1<=i<n et k_n=an/a1 puis utiliser le fait que la moyenne geometrique<=moyenne arithmetique.
  • Merci à vous tous mais je n'arrive pas malgré ces informations
  • Bonjours à tous

    Il y a quelqu'un pour m'aider !!
    (mon ip a changé car je suis dans un cyber)
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