[HorsMath] Logique

Bonjour,

Un des théorèmes de Gödel m'informe que si l'arithmétique (de Peano) est non contradictoire, alors je ne peux pas le prouver (dans un formalisme style 1er ordre).

Pourtant, je sais intuitivement qu'elle est non contradictoire (ce savoir intuitif ne m'apparaît pas moins fondé que la contemplation mentale d'assemblages de signes que j'imagine sur du papier).

Ai-je raison, ai-je tort ?
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Réponses

  • Bonjour GG.

    Il y a un énorme pas entre "savoir" intuitivement, par révélation ou que sais-je et "démontrer formellement" un résultat.

    Nous supposons tous ou nous sommes tous intuitivement convaincus que l'arithmétique de Peano est non contradictoire, mais au delà... Ce sont les limites de la formalisation.

    Bruno
  • Salut,

    quelques précisions.

    L'arithmétique de Péano est non-contradictoire: il en existe un modèle ($\N$).
    Seulement pour prouver cette non-contradiction, il faut sortir de l'arithmétique. Et là on tombe sur le problème de la consistance de $ZF$.

    Ce que dit Gödel, c'est que, {\bf en restant dans l'arithmétique}, on ne peut arriver à prouver la non-contradiction de Peano. De même, à l'intérieur de $ZF$, on ne pas prouver la non-contradiction de $ZF$.

    La différence entre les deux est que "on vit" dans $ZF$ donc on n'imagine pas sortir de $ZF$.... Ainsi il semble plus naturel de dire que $ZF$ ne peut prouver sa non-contradiction que Peano. Mais si on était des êtres qui ne vivaient que dans Peano, on verrait les choses différemment....

    @l
  • Bonjour @l.

    Pour une fois je trouve que tu lances le bouchon un petit peu loin. La consistance de $ZF$ me paraît encore moins intuitive que celle de l'arithmétique de Peano... Je sais, l'intuition de chacun dépend très fortement de l'expérience, cependant les axiomes de Peano à l'exception du schéma de récurrence sont très élémentaires et le schéma lui-même est fort intuitif. Alors que $ZF$ possède un axiome critique : l'axiome de l'infini (la théorie des ensembles finis est non contradictoire si j'ai bonne mémoire) et un schéma beaucoup plus complexe que le schéma de récurrence.

    Bref, pour revenir au bouchon, tu ramènes la démonstration de la consistance de l'arithmétique à celle d'une théorie beaucoup plus difficile à admettre.

    Au fait, je me trompe ou $ZF$ est équiconsistante avec l'arithmétique du second ordre ?

    Bruno
  • Sauf erreur de ma part, je pense qu'on dit substanciellement la même chose.

    En effet, la première chose sur laquelle je voulais insister est le fait que Peano est consistante.

    Ensuite, je dis justement que le théorème de Gödel est plus facile à admettre pour $ZF$ que pour Peano; la raison, à mon sens, est que pour Peano, on peut intuitivement "sortir" des modèles de l'arithmétique pour trouver un modèle alors que pour $ZF$, ce n'est pas vraiment possible.

    Sinon la théorie de $ZF$ sans l'Axiome de l'Infini est consistance; il suffit de prendre $V_{\omega}$ comme modèle.

    Quant à l'équiconsistance de $ZF$ et de l'arithmétique du second ordre, je crois me souvenir que c'est vrai.

    @l
  • Je comprends ce que tu veux dire. De toutes façons, je suis d'accord que je donnais à GG des informations moins précises que les tiennes.

    Bruno
  • bonjour Bruno et @l,

    pour formuler ma préoccupation de façon plus percutante, je dirais que je suis prêt à parier ma vie sur la non-contradiction de l'arithmétique, et pas un kopek sur celle de ZF.

    Suis-je un dangereux irresponsable inconscient ?
  • ma question est hors maths, disons qu'elle soit sociologique :

    Je pose à 1000 logiciens de par le monde et aujourd'hui la question "est-ce que l'arithmétique de Peano est non-contradictoire ?" en leur envoyant un qcm :

    a) oui
    b) non
    c) je ne sais pas, je ne peux pas dire, question ambiguë, etc.

    Pouvez-vous estimer le résultat ?
  • GG :
    Pour ta première question : Non. On peut vivre raisonnablement avec des paris pareils (Tu fais tous les matins le pari que tu seras vivant le soir, mais certains le perdent, tous les jours. Contrairement à @l, je ne "vis pas dans ZF". Je suis dans une vie bien plus concrète. Qui inclut les axiomes de Peano avec la restriction que la récurrence ne s'applique qu'à des cas finis (j'admets facilement que n!> $2^{n-1} $pour n = 100, 1000, et même 1 000 000 000 000 000 000 000, mais dire que c'est vrai "pour tout n" ne me sert que comme preuve mathématique)
    Par contre, comme mathématicien, je travaille dans un réseau de preuves qui se justifient bien avec ZF (Ou d'autres axiomatiques), du moins pour les cas que j'ai pu voir (je ne ramène pas toutes les preuves à l'axiomatique de base, c'est trop long!).

    Pour ta deuxième question, fais le sondage (C'est le seul moyen de connaître le résultat d'un sondage : Le faire).

    Cordialement
  • merci Gerard pour tes réponses.
    Pour le sondage, je table sur 1000 a), zéro b) zéro c). Une réponse d'un logicien du forum qui n'irait pas dans ce sens m'interpellerait. Cette question peut paraître loufoque, mais elle me tient à coeur. Si c'est 1000/0/0, cela me confirmerait que je ne comprends vraiment pas les rapports entre raison, maths, et monde. Quel est le statut réel d'un énoncé intuitivement vrai mais indémontrable avec des outils donnés ?
    L'intuition (est-ce définissable ?) nous trompe souvent, mais pas toujours. Pourquoi ne pas l'accepter (sous certaines conditions à définir, accord unanime de plus de x personnes ?) comme outil d'appréhension de certaines vérités au même titre que d'autres ?
  • Bonjour,
    GG je ne comprends pas bien tes doutes "métaphysiques".
    Pour moi, il est clair que l'intuition (même si elle peut parfois aider dans des cas élémentaires) ne sert pas à grand chose en math. Quelle intuition peut nous guider entre géométrie avec le postulat des parallèles et les autres ? Quelle intuition as-tu d'un ultrafiltre ? Et même simplement d'un EV de dimension infinie? Et même quelle intuition as-tu du nombre ? Les Grecs n'avaient pas tout à fait les mêmes intuitions que nous.
    Ne confonds tu pas les maths avec les maths pour physiciens ?
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • Bonjour,

    Je ne connais rien en logique mais votre discussion me fascine :

    C'est quoi ZF ?
    C'est quoi l'arthmétique de second ordre ?
    C'est quoi une théorie contradictoire ? Exemples ?
    C'est quoi consistant ?

    Merci de prendre le temps de répondre à ma curiosité.

    Ps : existe des livres d'introduction à la logique ? J'ai un niveau L3.
  • Jean-Louis, en gros :
    si AP (arith Peano) est non contradictoire, je ne peux pas le prouver,
    si ZF est non contradictoire, je ne peux pas le prouver.
    Mais, dans mon esprit, j'ai un modèle intuitif de AP, je n'en ai pas de ZF.
    Donc pour moi, intuitivement AP est non contradictoire, ZF, je n'en sais rien.
    Je fais une différence entre les deux, peut-être à tort.
  • GG, il me semble que dans AP , c'est la récurrence qui pose problème parce que notre intuition (enfin la mienne) ne me dit pas vraiment et clairement ce qu'est l'infini ,et donc le passage à "la propriété est vraie pour tout n " pose problème.
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • Jean-Louis,
    l'infini que mon intuition accepte, c'est l'infini potentiel :
    je peux écrire des assemblages d'un langage aussi longs que je veux : je ne suis pas limité. Mon modèle de AP, c'est par exemple la suite des assemblages 0,s0, ss0, sss0, ... Mon intuition me dit qu'elle est illimitée dans un sens, mais pas dans l'autre, autrement dit, pour chacun, je peux écrire tous ceux qui précèdent. Le schéma de récurrence est donc intuitivement vrai pour ce modèle intuitif : si la propriété était fausse pour l'un de ces "entiers", en écrivant ceux qui précèdent, je pourrais déterminer le premier pour lequel la propriété est fausse, d'où la contradiction. J'ai donc une sorte de garantie "physique" que AP est non contradictoire. Par contre, demain quelqu'un peut tomber sur une contradiction dans ZF. (ou jamais, mais on ne sera jamais tranquille :)
  • GG , je comprends bien tes arguments, mais là où je reste hésitant , c'est quand tu dis "illimitée ", j'ai du mal à m'imaginer que quelque chose soit illimité. C'est pour ça que l'ANS me fascine, parce qu'elle bouche des trous dans quelque chose (la droite réelle) qui paraissait ne pas en avoir.
    Cordialement .
    Jean-Louis.
  • Jean-Louis,
    sans faire de maths, tout être parlant se rend compte (et presque toujours abuse :) que le nombre de phrases qu'il peut prononcer est illimité (ou alors limité par sa propre mort, mais il a d'ailleurs de la peine à l'imaginer :). Si tu te refuses ce potentiel, alors pas de maths (même pas d'ANS), car pas de modèle (autre que fini), donc même pas de théorie des ensembles finis :)
  • Bonjour Serge2.

    "ZF" signifie "Théorie (formelle) des ensembles de Zermelo-Frankel". C'est la théorie la plus classique.

    Pendant que nous y sommes, "ZFC" signifie "ZF" + "axiome de choix". En fait il existe classiquement plusieurs extensions de ZF.

    L'arithmétique du premier ordre c'est l'arithmétique classique dans laquelle on n'a pas de variable désignant un ensemble de nombre. Notamment on ne peut pas écrire l'axiome de récurrence :$$\forall\,A \subset \N \quad \big(0 \in A \wedge (\forall\,x \quad x \in A \Longrightarrow x + 1 \in A)\big) \Longrightarrow A = \N$$mais un axiome pour chaque formule de l'arithmétique (cela s'appelle un schéma d'axiome).

    Une théorie contradictoire, c'est une théorie qui déduit une contradiction. On sait alors 1°) montrer n'importe quel énoncé est démontrable dans cette théorie qui ne présente donc aucun intérêt logique. 2°) que cela signifie que la négation de l'un des axiomes de la théorie est déductible des autres axiomes. Cette seconde conséquence fonde le raisonnement par l'absurde.

    Un exemple classique c'est : ZF + "il existe un ensemble de tous les ensembles" est une théorie contradictoire (on ne suppose pas l'axiome de fondation car sinon c'est évident). En effet, si E est l'ensemble de tous les ensembles, il est élément de lui-même. D'autre part, l'ensemble vide n'ayant aucun élément, n'est pas élément de lui-même. Donc E se divise en deux sous-ensembles : M l'ensemble des ensembles qui sont éléments d'eux-même et P celui des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux même. P est caractérisé par l'énoncé :$$X \in P \iff X \notin X$$Maintenant, tu substitues la lettre P à la lettre X et tu regardes ce qui se passe.

    Enfin une théorie consistante c'est une théorie non contradictoire.

    Si tu as quelques sous à dépenser, en théorie des ensembles tu peux acheter l'ouvrage de J-L. Krivine "Théorie des ensembles" chez CASSINI et pour un cours de master de logique, il y a : R.Cori et D.Lascar "Logique mathématique" DUNOD.

    Bien amicalement,

    Bruno
  • Bonjour, n'oublions pas la question de Serge2.


    Lorsque l'on formalise une théorie mathématique, en spécifiant le langage dans lequel ses énoncés peuvent être écrits, on peut restreindre les variables sur lesquelles portent les quantificateurs.
    Etant entendu que le langage comportera des variables d'individus (des x, des y...), des variables de fonctions (des f, des g...), des variables de relations(des P, des Q...), admettra-t-on au nombre des formules bien écrites celles qui disent quelque chose comme "pour toute relation P, bla bla bla" ? Ou bien seulement celles qui disent "pour tout x, etc" ?
    Si l'on n'autorise que ces dernières, on est en "premier ordre". Le langage retenu et une théorie qui y serait écrite seront dits du premier ordre.
    Si l'on se donne le droit de quantifier sur les variables de relations, et que des axiomes énoncent que l'on a bien affaire avec les P, les Q... à des relations entre les individus que visent les x, les y, on passe en second ordre.
    Ceci étant dit :
    ZF (pour Zermelo et Fraenkel) est une théorie du premier ordre qui axiomatise ( en s'efforçant d'éviter les paradoxes les plus voyants) la notion d'ensemble.
    On y trouve, écrit avec les symboles convenables, par exemple, l'énoncé selon lequel deux ensembles qui ont exactement les mêmes éléments sont égaux. Elle s'écrit avec (outre l'égalité) une seule lettre de relation le "E" de l'appartenance. Et l'on ne quantifie pas, bien entendu, ce "E".
    Cette théorie on l'espère "non contradictoire". C'est à dire que l'on espère que l'on n'y pourra jamais démontrer, à la fois, une formule A et sa négation non-A. On peut définir comme consistante une théorie non contradictoire (c'est la consistance "syntactique", qui concerne les formules déductibles).
    On peut aussi entendre la consistance au sens de l'existence d'un modèle, c'est à dire de l'existence d'un objet mathématique, d'une structure, qui vérifie les axiomes de la théorie.
    Revenons à l'arithmétique de Peano (AP). Si l'on considère, tout d'abord, les axiomes pour la notion de successeur "S":
    non (S(x)=0)
    S(x)=S(y) ---> x=y
    On peut en produire comme modèle n'importe quoi qui ait un premier élément et qui ne contienne jamais deux prédécesseurs distincts de l'un de ses éléments. N bien sur, mais aussi une suite d'éléments de N, etc.

    Lorsque l'on arrive à l'axiome pour l'induction, un problème de formulation se présente : s'autorise-t-on à écrire "pour tout ensemble A qui contient 0, etc" ?Ou bien choisit-on d'écrire un schéma d'axiomes, avec l'idée que les axiomes de AP seront obtenus en spécifiant dans ce schéma, à l'aide des symboles primitifs de AP (S, +, X), les propriétés sur lesquelles se fait l'induction ? dans Ce dernier cas on se tient au premier ordre. Avec cette conséquence que l'induction ne concernera qu'une infinité dénombrable de sous-ensembles de N (cela vient du "nombre" de propriétés pouvant être écrites). La version de l'induction qui énonce quelque chose du genre "tout A qui contient 0..." donne une arithmétique du second ordre.

    Des exemples de théorie contradictoires ? Au-delà d'exemples qui seraient artificiels (prendre A et non-A comme axiomes, le temps de voir les catastrophes que cela produit), d'un point de vue historique, une théorie ne reste pas contradictoire, elle est corrigée (versions pré-ZF de la théorie des ensembles, ou encore un premier lambda calcul de Church, je crois). Fait remarquable, il semble que cela se produise assez vite. (Ce qui n'est pas le cas pour les hypothèses insuffisament explicitées).

    Ce message est déjà trop long : mais il faudrait encore préciser le lien entre les deux consistances, la notion de consistance relative, d'équiconsistance.

    Toujours pour Serge, à une biblio donnée dans un autre fil (question de Roger je crois), on peut ajouter qui permettrait de se repérer dans celui-ci: Enderton, A Mathematical Introduction To Logic. Ou, pour commencer, destiné initialement à des étudiants de Philo., exposant les bases de la syntaxe et de la sémantique du calcul des propositions et de celui des prédicats (avec des remarques historico-philosophiques éclairantes, mais qui s'arrête avant les résultats d'incomplétude), de François Rivenc, Introduction à la Logique (pas cher, format quasi poche, chez Payot).
    Sinon plus rapide, et comportant des aperçus sur le problème "arithmétique/ordre", le chapitre IX dans Mac Lane, Mathematics, Form and Function. (en bibliothèque).
  • Mille excuses à Bruno, j'étais en train de rédiger mon truc indigeste pendant qu'il écrivait sa réponse à Serge.

    Juste : dans mon souvenir, il n'y a pas de second ordre dans Lascar et Cori (mais je me trompe peut-être).
  • personne ne m'a répondu en fait : est-ce que ma "croyance" que AP est non contradictoire (contrairement à ZF dont on ne peut rien dire) est définitivement naïve ?
  • GG, je ne réponds pas à ta question mais je reviens à la charge sur l'infini (c'est un peu de la provoc, mais ce sujet me passsionne...).
    Personnellement ,je n'ai de l'infini aucune représentation .Pour moi, un nombre ,aussi grand soit-il ,est toujours fini, même si c'est un entier non standard.J'accepte l'infini comme une règle d'un jeu.C'est comme ça que je vois les mathématiques ,ludiques et inutiles...(Bon ,c'est vraiment de la provoc surtout pour l'ingénieur que je suis.) .Mais lire dans le "Krivine" " il existe des parties au sens intuitif qui ne correspondent à aucune partie au sens de la théorie des ensembles" (de mémoire) , eh bien ,je ne me le représente pas non plus...
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • D'un point de vue logique, il existe des preuves de consistance mais qui ne remplissent pas avec évidence un rôle de confirmation de l'intuition.
    Alors si l'on tient pour fondement de la non contradiction de AP, l'existence d'un objet qui satisfait ses axiomes, peut-on échapper à la "naïveté" qui accompagne un constat d'existence ? Au moins doit-on considérer que cette naïveté est éduquée par toute l'expérience de ceux qui ont travaillé dans AP sans y déduire jamais de contradiction.
    (En passant, je crois que quelqu'un comme Gödel était loin de penser que l'on ne puisse rien dire de ZF et qu'il était plutôt à la recherche d'un constat d'existence de ce côté là).
  • Je me suis mal exprimé : du côté de l'existence d'objets dont ZF serait un aperçu imparfait.
  • D'un point de vue logique, il existe des preuves de consistance mais qui ne remplissent pas avec évidence un rôle de confirmation de l'intuition.

    si tu fais allusion à la preuve de Gentzen par ex, il y a effectivement un problème.

    Alors si l'on tient pour fondement de la non contradiction de AP, l'existence d'un objet qui satisfait ses axiomes, peut-on échapper à la "naïveté" qui accompagne un constat d'existence ?

    je ne suis pas sûr de comprendre. Le fondement de la non contradiction de AP, c'est que dans la liste de ses théorèmes que je peux commencer d'écrire, il n'y a pas T et ¬T. L'existence d'un modèle me le garantit. Ce modèle, mon esprit le voit. Que puis-je dire d'autre ?
  • Jean-Louis,
    si ZF est non contradictoire, elle a un modèle, et par suite un modèle dénombrable. L'ensemble des éléments d'un ensemble formel a forment une partie (intuitive) A de ce modèle. L'ensemble des parties formelles de a est dénombrable (puisqu'éléments du modèle). Il y a donc une partie de A qui ne correspond à aucun ensemble formel.
  • GG :
    Pour ta première question : Non. On peut vivre raisonnablement avec des paris pareils (Tu fais tous les matins le pari que tu seras vivant le soir, mais certains le perdent, tous les jours. Contrairement à @l, je ne "vis pas dans ZF". Je suis dans une vie bien plus concrète. Qui inclut les axiomes de Peano avec la restriction que la récurrence ne s'applique qu'à des cas finis (j'admets facilement que $n \, ! > 2^{n-1}$ pour $n = 100$, $1000$, et même $1 000 000 000 000 000 000 000$, mais dire que c'est vrai "pour tout $n$" ne me sert que comme preuve mathématique)
    Par contre, comme mathématicien, je travaille dans un réseau de preuves qui se justifient bien avec ZF (Ou d'autres axiomatiques), du moins pour les cas que j'ai pu voir (je ne ramène pas toutes les preuves à l'axiomatique de base, c'est trop long!).

    Pour ta deuxième question, fais le sondage (C'est le seul moyen de connaître le résultat d'un sondage : Le faire).

    Cordialement
  • GG, je reviens (tardivement, je le sais) à ton QCM. Malheureusement pour toi, je crains que tu n'obtienne pas 1 000 réponses 1. Il y aura sans doute quelques logiciens plus philosophes qui choisiront la réponse 3. La 2 me semble impraticable (Un logicien qui choisit "non" possède la preuve que AP est contradictoire, ça se saurait !).
    En fait, derrière tes explications, je sens le besoin d'une "adéquation des maths à la réalité courante". Comme si les maths étaient une "physique du quotidien". Lis le Morris Kline " Mathématiques, la fin des certitudes", et tu comprendras pourquoi les matheux ont abandonné ce point de vue.

    Cordialement
  • Telles que tu dis les choses, GG, le fondement de la non contradiction c'est l'existence du modèle. C'est cette existence qui est la raison d'exclure que l'on puisse dériver T et non-T.
    Au sens où ton esprit le voit, c'est un objet. Alors, en effet, c'est "naïf". Ce terme n'étant pas à prendre en mauvaise part : puisque l'on sait que ça existe, on ne gagnera pas en certitude par la suite. Même si l'on pourra mieux comprendre la nature de ce modèle, de cet objet.
    Mais pour revenir à ton tout premier message, il me semble que l'un des effets de la démonstration de Gödel, relative aux moyens requis pour une démonstration de la non contradiction de AP, serait de devoir distinguer entre vue de ce modèle et vue des signes sur le papier. La "vue des signes sur le papier", si on la formalise, donnera-telle quelque chose qui excède les possibilités de AP ? La vue du modèle, aussi fondé soit-on à l'admettre, relève vraisemblablement d'autres moyens.

    Pour repartir d'une remarque de Bruno : si l'on peut produire, dans une théorie, à la fois une démonstration de A et de non-A, cette théorie perd tout intérêt : on peut y démontrer n'importe quel énoncé.
    Imaginons qu'un jour AP soit découverte contradictoire. Quelle signification faudrait-il attribuer aux difficultés rencontrées jusqu'alors pour y démontrer certains théorèmes et non d'autres ?
    Autre question dans la même veine : imaginons que AP soit contradictoire mais que la démonstration d'une contradiction y excède, par sa longueur, les possibilités humaines. Comment apprécierions-nous cette situation ?

    Je ne sais pas si ce cas de figure est possible : une éventulle démonstration, hors AP, de son caractère contradictoire mais impossibilité de produire la contradiction, dans AP, en moins de N (très grand, et fini ?) lignes, il y a peut être quelque chose comme un "accélérateur" qui l'exclut, si quelqu'un a des idées là-dessus...
  • Gerard,
    En fait, derrière tes explications, je sens le besoin d'une "adéquation des maths à la réalité courante.

    Non, non, un besoin d'apaisement de mon esprit plutôt !
    Qui est ce Morris Kline ?
  • Pardon ce que je viens d'écrire n'est sans doute pas malin : "démontrer hors AP", si cela comporte des moyens plus forts...
  • Bonjour dimanchematin.

    Tu as été bien plus précis et plus complet que moi sur le second ordre et tu as raison, il n'y a pas d'étude de la logique du second ordre chez C-L.

    Ceci dit, il n'y a pas d'excuses à envoyer, deux points de vue convergents valent mieux qu'un et duex points de vus divergents permettent de préciser les choses.

    Bien amicalement,

    Bruno
  • question naive :

    que ce passe t'il si les ZF est contradictoire les maths s'écroulent????
    ou faudra rajouter des axiomes pour que le théorie soit consistante??

    merci de vos réponses c'est trés interessant
  • bonjour

    Je suis totalement néophyte en ce qui concerne la logique et les différentes théories qui en découlent.

    Je vais donc exposer ma vision du problème lié à l'infini au niveau de la perception.

    Je pense en fait que la notion d'infinie est seulement partiellement perceptible. Comme le disait GG on "sait" intuitivement qu'un phénomène peut se répéter infiniement dans le sens où il n'y a pas d'évenement final en temps fini. Autrement dit on ne peut considérer une infinité d'évenement en un temps fini. Cela provient à mon avis du fait d'une part que l'esprit humain ne peut imaginer un temps infini (certainement parcequ'aucune conscience n'est immortelle) et d'autre part qu'il ne peut visualiser qu'un temps discret. Le premier point ne pose à prioris pas de problème. Le second est plus subtil. Cela revient en quelque sort à montrer qu'on ne peut concevoir 2 évènements simultanés. En effet la nature continue du temps nous dit que pour affirmer que 2 évènements sont simultanés il nous faudrait une précision infinie sur la durée des 2 évenement et sur l'instant de départ. Un évènement instantané est imperceptible car intuitivement la perception a besoin d'une durée non nulle pour concevoir un évenement. En fait il y a un lien tres interessant avec la théorie de la mesure (evenement instantané = ensemble négligeable). Cela dit on perçoit aussi le caractère arbitrairement petit d'un évenement non instantané (on peut considérer des évenements de plus en plus court temporellement).

    POur résumer je pense qu'on peut concevoir un ensemble aussi grand que l'on veut mais toujours fini. L'esprit humain ne conçoit pas les limites de manière intuitive. Le cerveau humain fait un nombre de calculs finis (puisqu'il n'est pas immortel) donc ne peut conceptualiser naturellement une limite puisqu'il lui faudrait un nombre infini de calculs.

    Exemple : prenez une tribue (d'etre humains pas de parties d'ensembles ;) des plus primitives. Vous leur expliquez que si ils considèrent la foret qui les entoure ils peuvent rajouter un arbre à cette foret. Ils n'auront aucun mal à imaginer la foret avec un arbre de plus. Vous leur dite qu'il peuvent répéter cette opération une autre fois, puis une autre, puis encore une autre. Il ne fait aucun doute qu'intuitivement rien ne les empechera de continuer cette opération. Finalement ils auront conscience que la foret, en tant qu'entité sortie de son contexte, peut être arbitrairement grande. Par contre il est certains qu'ils ne pourront jamais concevoir une foret comportant une infinité d'arbres.

    Bon évidement c'est très naif mais pas moyen de faire mieux...

    t-mouss
  • Pour GG :
    "Non, non, un besoin d'apaisement de mon esprit plutôt !"
    C'est bien ce que je dis. Ton esprit ne peut se reposer sur des formalisations abstraites, sur des "théories éxplicatives" (ce genre de théorie explique le simple et nombreux par des règles abstraites et peu nombreuses). Sur quoi voudrais-tu pouvoir t'appuyer ? Et pourquoi considères-tu AP comme parfaitement fondée, sinon parce que cette axiomatique recouvre mieux ton expérience que ZF ?
    Comme quoi il y a dans toute pensée philosophique une part de psychologie individuelle.

    "Qui est ce Morris Kline ?"
    Un historien des maths et de l'épistémologie des maths, dont le bouquin, paru il y a une trentaine d'années est assez clair.

    Cordialement
  • Pour geo.

    Tout d'abord, si ZF est non contradictoire, on a montré que ses extensions qui n'impliquent pas la non contradiction de ZF ne sont pas contradictoire, par exemple ZF + AC (axiome de choix), ZF + non(AC) (eh oui), ZF + HC (hypothèse du continu $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$), ZF + non(HC)... Une extension qui implique la non contradiction de ZF c'est par exemple ZF + "il existe un cardinal hyperinaccessible" (peu importe ce que cela signifie, regarde un ouvrage sur les grands cardinaux) ce cardinal est {\bf un modèle} de ZF, donc l'axiome {\bf implique la non contradiction} de ZF ce qui prouve qu'il est "assez fort". Pour tout dire je ne sais pas ce qu'il en est de la non contradiction de cette théorie.

    Maintenant, que ce passerait-il si ZF se révélait contradictoire ? La logique nous dit que, dans ce cas, la négation d'un axiome est conséquence des autres ; on a donc un fil directeur pour examiner les axiomes et déterminer quel est celui (ou sont ceux) qu'il faut ôter du lot.

    Ceci dit, il faudrait regarder du côté du schéma de substitution (l'image d'un ensemble par une application est un ensemble) et travailler à limiter la notion d'application (travail sur des formules) ; tout le reste, hormis l'axiome de l'infini, est du super solide et est consistent. S'il fallait abandonner l'axiome de l'infini, alors Hilbert aurait définitivement perdu et "nous serions chassés du paradis que Cantor nous a créé :-))).

    Bruno
  • Gerard,
    merci pour la réf de Kline (mmmh, je vois que ça va être cotton de le trouver en français :)

    Et pourquoi considères-tu AP comme parfaitement fondée, sinon parce que cette axiomatique recouvre mieux ton expérience que ZF ?

    Si tu me permets de donner ma propre réponse à ta question, je dirais plutôt que c'est parce que j'ai exhibé un modèle de AP, la suite des assemblages :
    0
    s0
    ss0
    sss0
    ssss0
    ...

    et que j'attends de pied ferme celui qui me montrera un modèle de ZF, en me réjouissant en particulier de contempler alors des ensembles infinis de cardinal croissant :)
  • dimanchematin, tu as dit :

    Imaginons qu'un jour AP soit découverte contradictoire.

    Tu penses donc que cette possibilité existe. Pour moi, c'est hors de question.
    J'attends donc de ta part un argument rationnel qui me convainque de l'illusion de ma certitude.
  • "Une extension qui implique la non contradiction de ZF c'est par exemple ZF + "il existe un cardinal hyperinaccessible" .

    Bruno : en fait il suffit d'un cardinal fortement inaccessible, mais c'est franchement un détail.

    Pour info : s'il existe un cardinal fortement inaccessible $\kappa$, alors $V_{\kappa}$ est un modèle de ZF.

    Je pense que l'existence d'un cardinal faiblement inaccessible sufit, car il suffit alors de collapser les cardinaux à la Mostowski pour obtenir un fortement, et donc la consistance de ZF
  • suffit avec 2 f, oeuf corse.
  • Martial,
    tu as l'air versé en logique. Tu penses aussi, comme dimanchematin, que la possibilité que AP soit contradictoire existe ?
  • Non, j'y crois pas.
    Mais c'est vrai que grâce au 2ème théorème d'incomplétude de Gödel (et au théorème de complétude), on peut fabriquer un modèle de AP + Inconsistance de AP.
    D'après ce dont je me souviens (ça doit venir du Marker : Model Theory), il existe dans ce modèle une démo de Incons(AP).
    Le pb c'est qu'il n'y a que les abrutis qui vivent dans ce modèle qui croient en la finitude de la démo.
    Nous qui sommes à l'extérieur voyons bien que la démo est de longueur infinie, donc ne répond pas aux règles de la logique du premier ordre.
    Voir Marker pour + d'explications.
  • Merci pour la référence. Donc toi non plus tu n'y crois pas. Mais cette expression même (croyance plutôt que savoir) dont tu te sers me fait un drôle d'effet.
  • J'avais un peu perdu ce fil de vue et n'avais pas remarqué qu'une question m'avait été adressée.

    GG, mon propos n'était pas de plaider en faveur du caractère contradictoire de l'AP. Je laisse mon propos de côté.

    Cependant, je me demande comment l'on peut passer d'une intuition à sa caractérisation en termes logiques. Nous avons une certaine intuition des entiers, de leur ordre, etc. D'accord. Mais en quoi cette intuition est-elle intuition de la non contradiction d'une théorie les concernant ? Cela n'est pas clair pour moi. Répondre sur le mode " une théorie dont il existe un modèle est non contradictoire" répond à une question, certes, mais pas à celle de savoir ce que nous apprend notre intuition.
    Il est possible que la rapidité avec laquelle ont été découverts les problèmes, au tout début de la théorie des ensembles, infirme ce que je dis de l'intuition. Je ne sais pas.
  • Oui Martial, tu a raison, je me suis emballé sur le grand cardinal. Il est vrai que c'est aux limites de ma comprenette.

    Quand à la possible non consistence de AP, bien sûr je ne vois pas comment on pourrait y croire sauf si l'on part du principe que l'on ne croit que ce qu'on peut démontrer.

    Bruno
  • Mais alors Bruno, en bonne logique humaine, si on ne peut croire possible la non consistance de AP, c'est que l'on est certain de sa non contradiction, n'est-ce pas ce que l'on appelle une vérité ?
    (ce n'est pas de la provoc, j'essaie vraiment de comprendre :)
  • Bonjour GG.
    <BR>
    <BR>Qu'est-ce que la vérité mathématique ? Tu me poses une question métaphysique. A priori, je connais le démontrable et le non démontrable ; la vérité n'a rien à y voir. Au delà, il y a des convictions ; chacun peut en discuter mais on n'avance pas sur le sujet puisqu'on ne peut pas démontrer.
    <BR>
    <BR>Je veux bien te concéder que tu détiens une "vérité mathématique" sans trouver que cela apporte quelque chose au statut mathématique de AP.
    <BR>
    <BR>(Autrement dit, j'en reste à ma position affichée dans ma première intervention).
    <BR>
    <BR>Bruno<BR>
  • Merci Bruno. La différence de statut que je vois entre AP et ZF, je l'exprime par cette conviction :

    Il est impossible que AP soit contradictoire, alors qu'il il est tout à fait possible que ZF le soit".

    Elle est bien sûr indémontrable puisqu'elle ne saurait être formalisable. Mais elle me semble dire quelque chose d'intéressant sur le statut de AP, quelque chose à creuser. Comme je ne vois jamais dans les textes de logique quoi que ce soit qui y ressemble de près ou de loin, je me dis que ma conception générale des choses s'est fourvoyée quelque part, et cela fait des décennies que je me demande où (à temps très, très partiel, il faut dire :)
  • Pour répondre à ta remarque sur les textes de logiques, je pense que ce ne sont pas les logiciens qui abordent ce genrede problème dans leurs écrits scientifiques ; si l'on avait conservé l'urbanité des siècles précédents, la question serait abordée : à l'époque les géomètres esquissaint une historique des idées sur les sujets qu'ils abordaient (voir Euler, Lagrange ou Cauchy pour ne citer que trois grands exemples que j'ai étudiés). Actuellement, ta question ressort plus de l'épistémologie que de la logique et les professionnels distinguent soigneusement ces deux façons d'aborder les choses.

    Bruno
  • Actuellement, ta question ressort plus de l'épistémologie que de la logique

    Oui, absolument. Mais alors là, les rares textes que j'ai lus (Popper, Feyerabend) ne m'ont pas trop inspiré ! Il faudra un jour que je me mette sérieusement au boulot !
  • sujet delicat dans lequel je m'immisce : effectivement, je pense qu'on sort la du cadre mathematique.

    je dirais qu'il ne faut pas oublier que la manipulation des eniters est venue avant qu'on n'axiomatise tout ca : la necessité d'utiliser des axiomes s'est fait sentir passé un certain niveau d'abstraction, pour decider de maniere rigoureuse ce qu'on acceptait comme vrai. je pense que les axiomes sont arrivés justement au moment ou les maths ont commencé a manipuler des objets difficiles a "intuiter".

    a part ca, je considere que les theoreme de gödel signifie simplement qu'un systeme n'est pas clos, ne peut pas se decrire, se prouver lui meme entierement, tout comme un ensemble ne peut pas se contenir. ca me semble etre une constatation de bon sens que pour juger/definir quelquechose il faut une certaine vue d'ensemble, il faut etre "au dessus".
    un appareil logique simple peut cramer si on lui dit "cette phrase est fausse". pas nous. pourquoi ? nous nous situons quelques niveau de "gödelisation" au dessus d'un ordinateur. nous sommes capable de faire des raisonnement logique du meme genre de ceux que fait un ordinateur, mais nous sommes aussi capable de traiter la logique d'un ordinateur comme un objet, ce qu'un ordinateur ne sait pas faire. et ainsi de suite, (c'est ce que j'appelle les degré de "gödelisation", je ne suis pas sur que c'est clair :-) )

    donc pour l'arithmetique, je sais qu'elle est "vraie", quelle "existe". mais je le sais en dehors des mathematiques, je le sais parce que je suis autre chose qu'une machine logique. je le sais parce que je suis capable d'imaginer que si rien ne m'arrete, je pourrais compter autant que je veux. je suis capable de concevoir que cela peut se projeter a l'infini.

    j'abrege, j'ai peu de temps, mais la discussion m'interresse !
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