applications affines

Bonjour,

dans les applications affines, certaines sont bijectives (ou bien toutes ?) et forment le groupe affine. Le groupe des homothéties et translations est un sous-groupe de ce dernier.

Mais, par rapport à la conservation du barycentre, de l'alignement et du parallèlisme, quel type d'application affine conserve quoi ?

Je suis dans le brouillard...

Réponses

  • Bonjour un_peu_perdu.

    Une application d'un espace affine dans un autre est affine si, et seulement si elle conserve les barycentres ; ce qui équivaut grâce à une récurrence à la conservation des barycentres de toute paire de points.

    Cette caractérisation implique qu'une application affine conserve l'alignement et le parallélisme.

    Bruno
  • Pour une application affine bijective d'un même espace affine, on prèfère parler de transformation affine. Leur ensemble forme un groupe, appelé le groupe affine. Le groupe des homothéties-translations en est un sous-groupe. Il en est de même du sous-groupe des demi-tours-translations.

    Vous avez d'autres sous-groupes remarquables du groupe affine: le sous-groupe des transformations affines qui conservent le volume, ou bien le sous-groupe des transformations affines d'un espace affine réel qui conservent l'orientation...
  • Bonjour Pietplat.

    Qu'appelles-tu le groupe des demi-tours-translation ? Je n'en ai jamais entendu parler.

    Bruno
  • merci pour vos réponses.

    J'essaie de résumer :
    - toute application affine de A dans B conserve barycentre, alignement et parallelisme;
    - toute application affine bijective de A dans A (appelée transformation) conserve aussi la dimension. Ainsi l'image d'une droite sera une droite. Mais l'image n'est pas nécessairement parallèle à la source.
    - pour toute application du sous-groupe des homothéties/translations,l'image est parallèle à la source.

    Est-ce cela ?

    Et l'intersection du sous-groupe des homothéties/translations avec celui des transformations affines qui conservent l'orientation donnera un sous-groupe pour lequel l'image est parallèle à la source et de même orientation ?

    Peut-être un peu moins perdu... :-)
  • A noter (je l'ai récemment signalén voir <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=275179&t=274911#reply_275179"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=275179&t=274911#reply_275179</a>) que toute application d'un espace affine dans lui-même qui transforme tout ensemble de points alignés en points d'une droite parallèle est une homothétie-translation.
    <BR>
    <BR>Pour ta seconde question ; rappelle-toi que pour parler d'orientation de l'espace, il faut faire de la géométrie réelle (ou au moins sur un corps totalement ordonné). Le cas des homothéties est spécial : elles conservent l'orientation des espaces de dimension paire et change l'orientation des espaces de dimension impaire ; ce qui entraîne que si l'espace est de dimension paire, le groupe des homothéties translations est inclus dans celui des applications directes et dans les espaces de dimensions impaires, l'intersection est constitué du groupe des translations et homothéties de rapport positif.
    <BR>
    <BR>Bruno<BR>
  • Bonjour Bruno !

    Le groupe des demi-tours-translations est formé des transformations affines dont la partie linéaire est $Id_E$ ou $-Id_E$.
  • Merci beaucoup webman.

    Bruno
  • Oui, merci pour cette précision (parité de la dimension de l'espace) effectivement décisive.

    Existe-t-il une sorte de cartographie des sous-groupes du groupe affine ?
    Je comprends bien que le contexte (telle la dimension de l'espace) influe et que l'on ne peut pas toujours affirmer que tel sous-groupe est inclus dans tel autre.
    Où puis-je trouver une telle description dans le détail du groupe affine ?
  • C'est le produit semi-direct du sous-groupe des translations par le sous-groupe des applications qui fixent un point O arbitrairement choisi, au delà, je n'en sais pas plus car j'ignore la cartographie du groupe linéaire, mais on doit bien trouver cela dans des ouvrages de géométrie orientés vers l'aspect algébrique de la géométrie.

    Bruno
  • Il faut faire attention de distinguer $E$ et $K^n$.

    Les sous-groupes naturels de $GL(E)$ ne sont pas les mêmes que ceux de $GL(n,K)$.

    Exemple: Les groupe des matrices triangulaires inversibles n'existe pas ds $GL(E)$.


    Le groupe $SL^{\pm}(E)$ est naturel ds $GL(E)$ et donne le sous-groupe du groupe affine formé des transformations qui conservent le volume.
  • Il faut faire attention de distinguer $E$ et $K^n$.

    Les sous-groupes naturels de $GL(E)$ ne sont pas les mêmes que ceux de $GL(n,K)$.

    Exemple: Les groupe des matrices triangulaires inversibles n'existe pas ds $GL(E)$.


    Le groupe $SL^{\pm}(E)$ est naturel dans $GL(E)$ et donne le sous-groupe du groupe affine formé des transformations qui conservent le volume.
  • Salut,

    Il me semble qu'on a aussi le résultat suivant :

    Soient $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ deux espaces affines.
    Soit $\varphi \, : \, \mathcal{E} \, \longrightarrow \, \mathcal{F}$ une application {\bf bijective}.
    Alors, $\varphi$ est affine {\bf si et seulement si} $\forall \, A, B, C \, \in \mathcal{E}$ (distincts et) alignés on a $\varphi(A), \varphi(B), \varphi(C)$ alignés.

    Bonne soirée.

    michaël.
  • il y a aussi le resultat suivant


    si $GA(E)$ est le groupe des applications affines de $E$ et $T(E)$ le sous groupe des translations de $E$ alors $GA(E)/T(E)$ est isomorphe à $GLn(\overrightarrow{E})$


    merci
  • Attention, $E$ désigne dans certains messages l'espace vectoriel associé à l'espace affine $\cal E$, et dans d'autres l'espace affine lui-même, dont l'espace vectoriel associé est noté alors $\vec E$.
  • mon message est clair quand c'est affine il n'y a pas de flêche
  • Attention, $E$ désigne dans certains messages l'espace vectoriel associé à l'espace affine $\cal E$, et dans d'autres l'espace affine lui-même, dont l'espace vectoriel associé est noté alors $\overrightarrow E$.
  • il y a aussi le resultat suivant


    si $GA(E)$ est le groupe des applications affines de $E$ et $T(E)$ le sous groupe des translations de $E$ alors $GA(E)/T(E)$ est isomorphe à $GL_n(\overrightarrow{E})$


    merci
  • Oui michael les bijections du plan ( complet ) conservant l'alignement sont les fonctions affines ( c'est d'ailleurs un exercice très amusant ) .

    D'autres exercices amusant sur le même thème :

    Déterminer les bijection du plan affine conservant :
    1°) la cocyclicité .
    2°) l'orthogonalité .

    Ou encore :
    3°) Déterminer les bijections transformant des points cocycliquiques ou alignés en point cocycliques ou alignés .

    Bien sûr l'exercice est bien plus intéressant ( mais plus classique ) si on ajoute un point à l'infini .

    Domi
  • Petit bémol Domi et toutes mes excuses à michael.

    La propriété est vraie pour les espaces affines réels de dimension finie.

    Bruno
  • Oui Bruno ,

    j'ai déjà du mal à sortir du plan pour les espaces affines alors de là à penser que le corps de la multiplication externe peut-être $\C$ :)) . Je viens d'ailleurs de me rendre compte que les prolongements que j'ai proposé débordent largement le cadre initial puisque non content de me cantonner au plan , je me permets de lui rajouter une distance euclidienne .

    Quel troll je fais quand je m'y mets .

    Domi
  • Salut,

    Oui, j'aurais dû regarder à nouveau mon cours. J'ai connu ce résultat cette année alors qu'on ne travaillait qu'avec des espaces affines réels de dimension finie (c'était écrit au début du cours). Bon pour la dimension finie, c'était sous-entendu dans ma tête parce que c'est à peu près tout ce que je connais en géométrie affine.
    En revanche, en ce qui concerne le corps de base, je n'y avais jamais réfléchi (donc merci Bruno).

    michaël.

    P.S. : Pourquoi "toutes tes excuses" ?
  • "Toute mes excuses" parce qu'il a fallu que Domi éveille mon attention.

    C'est facile de se rappeler que le théorème n'est valable que pour certains corps de base : la construction montre que la bijection est additive et pseudo linéaire, car il existe un automorphisme du corps de base $\varphi$ tels que :$$\forall\,\alpha \in mathbb K\ \forall\,\vec x \quad F(\alpha\,\vec x) = \varphi(\alpha)\,F(\vec x)$$Il faut donc que le groupe des automorphismes de $\mathbb K$ soit trivial et pour $\C$...

    Bruno


  • $$ \forall\,\alpha \in \mathbb K,\ \forall\,\vec x, \quad F(\alpha\,\vec x) = \varphi(\alpha)\,F(\vec x)$$
  • stfj
    Modifié (October 2024)
    Bonjour, les démos sont simples. Soit E un espace vectoriel considéré comme espace affine. Une application affine est f(x)=a+g(x) avec g linéaire. g n'appartient pas forcément à $\mathrm {GL}(E)$. Penser à une projection linéaire(a=0) sur l'axe x=0 de $\mathbb R^2$. f bijective ssi g bijective. L'ensemble des transformations affines forment le groupe affine de E, GA(E), dont le groupe $\mathscr H$ des homothéties-translations est un sous-groupe. Penser à la composition de deux symétries centrales par exemple. Soit $g=\sum \alpha_i\cdot a_i$, avec $\sum a_i=1$ un barycentre. Il est facile de démontrer que $f(\sum \alpha_i\cdot a_i)=\sum \alpha_i \cdot f(a_i)$. Autrement dit la conservation des barycentres. Par exemple, très utile au collège, la conservation du milieu. Du coup, comme une droite peut s'interpréter comme un ensemble de barycentres, la conservation de l'alignement. 
    Les démonstrations dans le cadre des espaces affines généraux sont tout aussi simples.
    Cordialement.

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