[capes] complexes
dans Les-mathématiques
bonjour
Je suis en train de faire les leçons sur les complexes or un truc m'embête
dans la leçon module et argument d'un nb complexe
Je ne sais pas comment introduire l'argument sans tomber dans un cercle vicieux
Je m'explique:
J'ai le choix, en identifiant $\mathbb{C}$ au plan $\mathcal{P}$ via la bijection affine, de poser $arg(z)=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})[2\pi]$ où $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est un repère orthonormé de $\mathcal{P}$ et $z$ est l'affixe de $M$ de module 1 et $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ est la mesure de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})}$
et d'en déduire $z=cos(arg(z))+isin(arg(z))$ (où le cos et le sin sont définies par leur serie entière)
ou de proposer le théorème suivant pour tout $z$ de module 1 il existe $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $z=cos(\théta)+isin(\theta)$
et de définir l'argument de $z$ comme le réel $\theta$ trouvé plus haut?
ces définitions sont équivalentes mais dans la première cela parait plus naturel et plus géométrique que dans la seconde et pour tout direla preuve du théorème repose plus sur les propriétés des fonctions sinus et cosinus que sur les propriétés des angles orientés
alors laquelle prendre ? dés que l'on parle d'angles orientés et de leurs mesures doit t'on toujours dire au jury que l'on a définit au préalable les fonction sin et cos par leur serie entière?
merci
Je suis en train de faire les leçons sur les complexes or un truc m'embête
dans la leçon module et argument d'un nb complexe
Je ne sais pas comment introduire l'argument sans tomber dans un cercle vicieux
Je m'explique:
J'ai le choix, en identifiant $\mathbb{C}$ au plan $\mathcal{P}$ via la bijection affine, de poser $arg(z)=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})[2\pi]$ où $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est un repère orthonormé de $\mathcal{P}$ et $z$ est l'affixe de $M$ de module 1 et $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ est la mesure de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})}$
et d'en déduire $z=cos(arg(z))+isin(arg(z))$ (où le cos et le sin sont définies par leur serie entière)
ou de proposer le théorème suivant pour tout $z$ de module 1 il existe $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $z=cos(\théta)+isin(\theta)$
et de définir l'argument de $z$ comme le réel $\theta$ trouvé plus haut?
ces définitions sont équivalentes mais dans la première cela parait plus naturel et plus géométrique que dans la seconde et pour tout direla preuve du théorème repose plus sur les propriétés des fonctions sinus et cosinus que sur les propriétés des angles orientés
alors laquelle prendre ? dés que l'on parle d'angles orientés et de leurs mesures doit t'on toujours dire au jury que l'on a définit au préalable les fonction sin et cos par leur serie entière?
merci
Réponses
-
Salut
La 2 est plus rigoureuse mais d'un niveau plus élevé.
La 1 à le mérite d'être accessible au lycée.
Je n'ai qu'un (pauvre) conseil à donner :
Soit cohérent avec le reste de ta leçon.
Fais-tu un exposé de niveau fac ou plutôt niveau lycée ?
Le choix entre (1) et (2) en découle il me semble.
a+ -
personnellement j'ai pris la première car plus géométrique
mais dans ce cas je considère connue la trigonometrie de lycée .
Par contre ce qui m'embête au niveau lycée ce sont les fonctions sinus et cosinus qui ne sont pas trés bien definies ,donc j'ai peur de me faire piéger dessus alors que dans la deuxième il faut utiliser la surjectivité de $e^{ix}$ c'est ce qui donne la surjectivité du sinus et du cosinius en bref il faut utiliser l'exponentielle complexe et là je ne risque rien au niveau rigueur
merci -
à oui j'oubliai la leçon ne peut etre du niveau lycée car on y parle des lignes de niveau de l'argument donc un moment donné de l'arc capable......
-
Bonjour géo.
La logique de l'exposé, c'est l'introduction géométrique des notions de module et argument ; seule l'application demandée n'est plus du niveau du lycée.
Par conséquent, dans cet exposé, tu admets que l'on connaît les angles orientés (à ce propos, pour identifier $\mathcal P$ et $\C$, il faut que~$\mathcal P$ soit orienté et muni d'un repère cartésien orienté direct).
A mon avis, si tu pars sur le niveau post-bac, tu vas te faire ramener sur terre dès le début de l'entretien.
Bruno -
il est de toute façon bon de savoir que S^1 est isomorphe à R/Z, et isomorphe à SO(2).
Sans cela on ne comprendra jamais rien a cette leçon.
Une fois cela compris, on redescend sur Terre,...
Attention ! Attention !! aux feux de circulation... -
autre question
si l'on considère l'application $\phi$ qui à un nombre complexe $z$ fait correspondre un point de $ \mathcal{P}$ et l'application $\overrightarrow{\phi}$ qui à $z$ fait correspondre un vecteur de $\overrightarrow{ \mathcal{P}}$ se sont des bijections ;affine pour la première et linéaire pour la seconde
si je pose $\overrightarrow{aff}$ la réciproque de $\overrightarrow{\phi}$
et $aff$ la réciproque de $\phi$ je dois normalement avoir $\overrightarrow{aff}(\overrightarrow{MN})=aff(M)-aff(N)$ pour tout point$M,N$ du plan?
En fait $\overrightarrow{aff}$ est l'application linéaire associée de $aff$ ?
Est ce que j'ai bon? car j'ai vu sur un document que l'auteur confondait $aff$ et
$\overrightarrow{aff}$
merci -
Une fois fixé un repère, les distinctions entre M, $\overrightarrow{OM}$ , z et (x,y) sont tout à fait obsolètes.
Citation de Dieudonné : "l'antique terminologie d'affixe est une relique d'un temps où on ne comprenait pas qu'il n'y a pas de différence entre algèbre et géométrie" (in "calcul infinitésimal").
De quoi mettre de mauvaise humeur un jury de capes... -
Pas sûr d'avoir compris.
Qu'est-ce qui mettrait de mauvaise humeur le jury ? Faire la distinction ? Ne pas la faire ? Citer Dieudonné pour justifier un flou artistique ?
A mon avis il y a autant de points de vue sur cette question de terminologie que de jurés. Tout le monde n'est pas forcé d'être à 100% d'accord avec Dieudonné (ni à 100% en désaccord). Par ailleurs puisque c'est une simple question de terminologie, je ne pense pas que le jury puisse réellement être pertubé du moment que le candidat maîtrise ce qu'il raconte...
Voilà c'était ma petite intervention super-constructive de Pâques...
Bonne nuit. -
Ce qui peut mettre de mauvaise humeur le jury c'est l'incohérence des positions d'un candidat ; les trois membres d'un jury ne sont pas des personnes ayant strictement les mêmes opinions ni les mêmes conceptions mathématiques, elles sont tout à fait capables d'admettre d'autres points de vue que les leurs... Si ce point de vue est raisonnablement cohérent.
Bruno
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 62 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 23 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 84 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 342 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres