Nb de morphismes de groupe

Bonjour,

J'ai lu à un endroit que si $G$ est un groupe commutatif fini, $G=\Z /d_1\Z\times\cdots\times\Z /d_r\Z$ avec $d_i$ non nuls, non inversibles et $d_1|d_2|\cdots|d_r$, le nombre d'homomorphismes de $G$ est :
$$ \prod_{i=1}^r d_i^{2r-2i+1}$$

J'avoue ne pas avoir beaucoup d'idées pour montrer ça. A part dire qu'un homomorphisme est entièrement déterminé par l'image de la "base canonique" et regarder les conditions imposées sur les images de ces éléments, je ne vois pas trop comment m'y prendre.

Vous serez peut-être plus inspirés que moi.

Merci

Seb

Réponses

  • C'est fait, dans le cas plus général des modules sur un anneau principal (mais la démonstration n'a rien de différent je pense) dans le Jacobson, Basic Algebra I, p.204.
    <BR>
    <BR>Ton idée est effectivement la bonne, le tout étant de ne pas s'embrouiller...<BR>
  • L'idée est exactement ça: tu dispose d'une base de $G$, la base canonique $(e_1,...,e_r)$, où $e_i$ désigne l'élément de composantes $(0,...,0,1,0,...,0)$.
    Alors il suffit, pour définir un homomorphisme $f$ de $G$, de définir les images de chacun de ces éléments. La seule contrainte que l'on ait est que $f(e_i)$ doit avoir un ordre inférieur ou égal à $d_i$, qui est l'ordre de $e_i$.
    Donc la $j$ème composante de $f(e_i)$ peut prendre toutes les valeurs si $j \leq i$, et peut prendre exactement $d_i$ valeurs si $j>i$. Soit au total $d_1 \times ... \times d_{i-1} \times d_i^{n-i}$ possibilités pour $f(e_i)$.
    Donc le nombre total d'homomorphismes de $G$ est:
    $$\prod_{i=1}^r d_1 \times ... \times d_{i-1} \times d_i^{r-i}=\prod_{i=1}^r d_i^{2r-2i+1}$$
  • calculer de même la dimension du commutant d'une matrice nilpotente.... (pour commencer)
  • Merci à tous les trois. En fait, je n'avais pas le Jacobson sous la main mais j'ai quand même trouvé. Comme le dit YvonDelavallée, la méthode permet également de calculer la dimension du commutant d'un endomorphisme.
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