Question de topologie

Michiel Vermeulen · April 2006

Bonjour,
 
 J'ai une petite question de topologie qui doit être simple mais que je n'arrive pas à résoudre :
 
 Soit X un ensemble non-vide, et T une topologie finie sur X.
 Est-ce que (X,T) est toujours separable ?
 

 Merci, Michiel

bosio frederic0 · April 2006

Si fini veut dire qu'il n'y a qu'un nombre fini d'ouverts et separable qu'il existe une partie denombrable dense, alors oui bien sur vu qu'il suffit de prendre un element de chaque ouvert non vide pour avoir une partie dense.

Michiel Vermeulen · April 2006

Frederic,

Oui, en effet...
On peut donc même prendre T dénombrable et infini.
Question supplémentaire :
Est-ce qu'un espace topologique qui a une base dénombrable est toujours séparable ?

Merci,
Michiel

Michiel Vermeulen · April 2006

Je reponds moi-même à ma deuxième question : Bien sûr : Prends un élément dans chaque ouvert de base.

Michiel

Pilz0 · April 2006

Oui tout à fait et la réciproque est fausse! La topologie de Zariski sur R par exemple

Michiel Vermeulen · April 2006

Encore un exercise un peu moins bête:

Soit (X,T) un espace topologique et S un ensemble dense dans (X,T).

Prouver que pour chaque ouvert U de T on a: cloture (S intersection U) = cloture (U).

Michiel

Probaloser · April 2006

Sans relecture.

L'une des deux inclusions est claire. Montrons l'autre. Soit $x$ un point de la l'adhérence de $U$. Soit $V$ un voisinage ouvert de $x$. Il rencontre $U$ (car $x$ est adhérent à $U$). Ainsi l'intersection de $U$ et $V$ est non vide. C'est par ailleurs un ouvert. Par conséquant $U \cap V$ rencontre $S$. Cela conclut.

Question de topologie

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