distribution

nadiacyrine
nadiacyrine
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Est-ce que <T,f>=(f(0))², pour tout f dans D(R) est une distribution sur R ?
Justifier.
Merci

Réponses

  • corentin0
    corentin0
    Est ce que $T$ est linéaire?
  • Kuja
    Kuja
    Indication : qu'est-ce qu'une distribution ?
  • Kuja
    Kuja
    Méchant corentin qui fout en l'air mon indication ... :)
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    non elle n'est pas lineaire, hi hi
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    comment mq T est une distribution sur

    <T,f>=lim_n
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    comment mq T est une distribution
  • corentin0
    corentin0
    C'est un des nombreux exos du bouquin de Zuilly Queffelec sur les distibutions.
    Essentiellement, ça se fait avec des développements de taylor à l'ordre $2$.
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    Corentin, je n'arrive pas à montrer que la somme converge !
  • Probaloser
    Probaloser
    Est-ce que tu arrives à le faire pour un polynome de degré $2$ pour commencer ?
  • corentin0
    corentin0
    Ou même un polynôme de degré $1$, vu que le terme qui traine dans le reste intégral n'est pas franchement le truc qui pose problème.
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    si g bien compris tu veux prendre $\varphi$=un polynome de degree 2?
    mais D(R) ne contient pas les polynomes!
  • Probaloser
    Probaloser
    Rien ne t'empêche de regarder ce qu'il se passe pour les polynomes (c'est fou toute cette liberté qu'on a).

    Si tu sais le faire pour un polynome de degré $1$ (et $2$ aussi quand même), via un développement de Taylor bien maitrisé, tu peux espérer conclure (je ne fait que répéter l'indication de Corentin).
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    Je pense que ce n'est pas une distribution
  • Airy0
    Airy0
    nadiacyrine >

    $\sum_{i=1}^{n} \phi( \frac{1}{k}) - n \phi(0) = \sum_{i=1}^{n} \phi( \frac{1}{k}) - \phi(0) $.

    Ensuite c'est là qu'une utilisation pertinente d'un developpement de Taylor te permet de conclure.

    Sauf erreurs.

    Airy.
  • corentin0
    corentin0
    "Je pense que ce n'est pas une distribution"
    C'est un peu énervant, on te donne des indications pour montrer que c'est une distribution, et tu nous dis qu'on a tort. Si tu bloques dis nous où.

    Quand à cette histoire qu'on n'a pas le droit de faire ça sur des polynomes, il y a deux réponses raisonnables:
    1) réponse pratique: on a qu'à faire comme si, de toute façon un polynôme c'est $C^{\infty}$ donc c'est presque acceptable.
    2) réponse théorique: cette distribution est à support compact, donc on a le droit de la faire taper sur des fonctions qui sont $C^{\infty}$ sur $\R$. (d'après le théorème de Borel, on peut toujours raccorder nos polynomes en dehors du support de la distribution pour qu'ils soient à support compact)
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    au fait corentin, la question est de voir si T est une distribution.
    Et je ne croix pas aux arguments "presque accetable".
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    ça y est, c'est une distribution. Il fallait remarquer que

    $\lim_n(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-log n)$ converge vers la constante d'Euler.

    Pas besoin des polynomes ;)
  • Probaloser
    Probaloser
    <<
    Pas besoin des polynomes ;)
    >>

    En même, l'idée est que ça se passe bien pour les polynomes et que ça suffit par Taylor. Avec ce que tu racontes je ne suis pas complètement sur que t'ai pleinement compris pourquoi ça marche...

    Quelles sont les grandes lignes de ta preuve ?

    Refuser les arguments "presque acceptables" comme des preuves, c'est très bien. Mais les rejeter quand ils contiennent les idées (sans déformation) et qu'ils te permettent de mettre au point la preuve, c'est ballot (et c'est la cas ici). On se contentait, avec Corentin, de te donner des indications. Ce n'est pas parce que tu n'en as pas compris la "portée" que tu dois nous balancer qu'on raconte n'importe quoi...
  • nadiacyrine
    nadiacyrine
    voici la démonstartion en piece jointe.

    ps. Moi j'ai pas de probléme avec ma demonstartion (sans polynome)!!!
    keep coullllll
  • Probaloser
    Probaloser
    OK, je n'ai pas regardé les détails, mais n'as-tu pas vu que l'idée de ta preuve était que l'on pouvait faire comme si la fonction testée était la fonction polynomiale définie par $x \mapsto f(0)+xf'(0)$ ? (et ce grâce à Taylor ?).
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