démonstration

Sylvie1 · April 2006

bonjour, est ce que vs pouvez me donnez la démonstration de ce théorème : on a f une fonction définie sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
on suppose f(a) = f(b) . démontre que : il éxiste un c appartenant à ]a,b[ ; f'(c) = (f(c)-f(a))/(c-a) . merci .

Probaloser · April 2006

Tu es sure de ton énoncé ?

Sylvie1 · April 2006

oui , veuillez me répondre svp vite.

Pilz0 · April 2006

tu mélanges 2 trucs on dirait ( Rolle et accroissements finis)

Domi4 · April 2006

Celà voudrait dire qu'il existe une valeur c de ]a,b[ telle que la pente de la droite passant par (a,f(a)) et (c,(f(c)) soit égale à f'(c) ce qui est manifestement faux pour la fonction sin sur [0,pi] ( il faudrait que tanx = x pour x dans ]0,pi[).

Domi

Probaloser · April 2006

Ca m'a l'air faux non (prendre une fonction strictement convexe/concave). Par exemple prend $a=0$, $b=1$ et pour $f$ la fonction carré ($x \mapsto x^2$). Alors, pour tout $c$ dans $]a,b[$, on a $f'(c)=2c$ et $(f(c)-f(a))/(c-a)=c$ (et ces donc quantités ne sont donc pas égales).

Domi4 · April 2006

Probaloser , tu as zappé f(a) = f(b) , non ?

Domi

Probaloser · April 2006

Ah oui tiens, merci.

Voilà une version corrigée :

Prend $a=-1$, $b=1$ et pour $f$ la fonction carré ($x \mapsto x^2$). Alors, pour tout $c$ dans $]a,b[$, on a $f'(c)=2c$ et $(f(c)-f(a))/(c-a)=(c^2-1)/(c+1)=c-1$ (et ces donc quantités ne sont donc pas égales).

Johann5 · April 2006

Je propose d'ajouter l'hypothèse f'(a)=0, sinon c'est effectivement faux.

Gary1 · April 2006

En effet avec f'(a)=0 ça marche. Pour la démonstration, il faut utiliser Rolle pour une fonction bien choisie...

Johann5 · April 2006

On peut alors regarder la fonction définie par g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)...

Gary1 · April 2006

Il y a un exercice similaire où on modifie un peu les hypothèses:
f continue sur [a,b], dérivable en a et b avec f'(a)=f'(b).
La question est la même.

Sebastian1 · April 2006

Bonjour.

En fait je suppose que l'énoncé de départ était :

... tel que f'(c) = 0

ou alors sans l'hypothèse f(a)=f(b) : ... tel que f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)

Le premier énoncé étant bien sûr un cas particulier du second.

Sinon effectivement avec f'(a)=0 ça marche aussi (après le changement de signe de la dérivée seconde.)

Johann5 · April 2006

Sabastian, je pencherai plutôt pour l'énoncé complété avec f'(a)=0, car celui que tu proposes est quelque peu trivial... Mais on ne sera peut etre jamais !
Sinon cette histoire de dérivée seconde est forcément louche, car f n'est pas supposé deux fois dérivable.

Sebastian1 · April 2006

Certes, j'ai oublié ce détail pour la dérivation, mais d'autres avant moi ont parlé de concavité, ça m'a troublé sûrement. Désolé donc, et merci de cette précision.

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