Est-ce correct ?

Salut

$\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ est une série entière de rayon de convergence R. Soit $(u_n)$ une suite de complexes non nuls telle que $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lambda \in \R_+}$.
Que peut on dire du rayon de $\sum_{n \geq 0} u_n a_n z^n$ ?

Voici ce que je fais :

On a donc $\sqrt[n]{|u_n|} \longrightarrow \lambda$ c'est à dire $|u_n| \sim \lambda^n$. Par conséquent, $ \sum_{n \geq 0} u_n a_n z^n$ est absolument convergente ssi $\sum_{n \geq 0} a_n (\lambda z)^n$ est absolument convergente c'est à dire si $\lambda z < R$ c'est-à-dire $z < \frac{R}{\lambda}$.

Le rayon de convergence de $\sum_{n \geq 0} u_n a_n z^n$ est donc $\frac{R}{\lambda}$.


Est-ce correct ? Cette solution me semble très simple, trop simple !