Hilbert réel et borne sup finie ?

Pince-oreille
Pince-oreille
dans Les-mathématiques
Bonsoir à tous,

Je travaille sur des applications bilinéaires, et j'ai eu des cours sur la diférentiabilité d'application etc.
Et j'en suis arrivé à me poser certaines questions :

Soit $(E,< , >)$ un espace de Hilbert réel.
Soit $k\in E$ fixé.
Pourquoi $\displaystyle\sup_{\vert\vert h\vert\vert =1}\{\}$ est-elle finie ?

De même, pouquoi $\displaystyle\sup_{\vert\vert h\vert\vert = \vert\vert k\vert\vert =1}\{\}$ est-elle finie ?

Je pense au théorème des bornes, mais je n'arrive pas à m'en servir, si c'est bien de cela qu'il s'agit !!
Pouvez-vous m'aider, car là je bloque vraiment !

Merci d'avance.

Réponses

  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Oui. C'est Cauchy Schwartz je crois.
  • bisam
    bisam
    Inégalité de Cauchy-Schwarz ?
  • bisam
    bisam
    Mon point d'interrogation ne s'adresse pas à Toto bien évidemment...
  • Pilz0
    Pilz0
    Sinon il y a la caractérisation de la continuité d'une application bilinéaire
  • Pince-oreille
    Pince-oreille
    Alors vous m'avez bien éclairé, avec Cauchy-Schwarz ça marche très bien apparemment !

    Et en fait, pour rejoindre ce que dit Pilz, j'ai 2 autres soucis :

    1) mon prof écrit, pour une application bilinéaire continue $B$:
    $\vert\vert B(x,y) \vert\vert \leq \vert\vert B \vert\vert_{L} \vert\vert x \vert\vert \ \vert\vert y \vert\vert$, avec $\vert\vert . \vert\vert_L$ la norme d'opérateur, et il dit que cela est du à la continuité de $B$. Or, je ne vois pas ce que vient faire la continuité là-dedans, ou alors c'est pour montrer que la norme d'opérateur (qui est une borne sup) est bien définie ?? Je sais pas, vous savez vous ?? :)

    2) Je voudrais montrer que $\{ h\in H, \vert\vert h\vert\vert =1\}$ est une partie compacte de $H$, avec toujours $H$ espace de Hilbert réel.
    Comment vous faites ? Je comprends pas comment faire ! (en fait je voudrais montrer ça, pour utiliser le théorème des bornes et dire que $\sup_{\vert\vert h \vert\vert =1}\{ \}$ existe et est atteint, donc que c'est un $\max $...)
    .Peut etre d'ailleurs que ce n'est pas un compact ! :p J'arrive pas à trouver une démo ou un contre-exemple !

    Please help me ! :p

    Merci à tous, vous m'avez déjà beaucoup éclairé !
  • Alban
    Alban
    1)
    $B$ continue $ \Rightarrow $ $||B|| < \infty$, (c'est même équivalent) comme le montre l'inégalité
    $|| B(x+u,y+v) - B(x,y) || = || B(u,y) + B(x,v) || \leq ||B|| . ( ||u|| ||y|| + ||x|| ||v|| )$ qui tend vers 0 si $||u||$ et $||v||$ tendent vers 0.
    Donc écrire l'inégalité $\vert\vert B(x,y) \vert\vert \leq \vert\vert B \vert\vert_{L} \vert\vert x \vert\vert \ \vert\vert y \vert\vert$ n'a de sens que si $B$ est continue.

    2)
    Ta partie est compact si et seulement si $dim(H) < \infty$. Ca s'appelle le théorème de Riesz.
  • Alban
    Alban
    Il faut remplacer le $\Rightarrow$ de la première ligne par $\Leftarrow$
  • Pince-oreille
    Pince-oreille
    Merci beaucoup Alban, tu as bien fait de me parler du théorème de Riesz, ça faisait longtemps, je l'avais oublié celui-là ! :p
    mais j'ai encore des questions sur ce que tu m'a indiqué :

    J'ai compris que $B$ continue $ \Rightarrow $ $||B|| < \infty$, donc que si $B$ n'est pas continue, alors $||B|| $ n'est pas finie !
    Mais j'arrive pas à faire l'implication inverse, je comprends pas.
    Si $B$ est continue, pourquoi $||B|| < \infty$ ?????
    Tu dis &quotc'est même équivalent", j'arrive pas à voir pourquoi. Je dois pas voir un truc là.

    Pouvez-vous encore une fois m'éclairer s'il vous plait. :)
    Merci.
  • Yann.
    Yann.
    à Pince-oreille,

    Alban a raison : B continue équivaut à ||B|| finie.

    Ton prof a dû démontrer dans ton cours qu'une forme bilinéaire B est continue sur un evn E si et seulement si il existe une constante positive C telle que pour tous x, y dans E ||B(x,y)|| <= C||x|| ||y||
    puis définir ||B|| = inf{C>0 ; ||B(x,y)|| <= C||x|| ||y|| ; pr tt x,y ds E} par exemple. d'où ||B|| finie nécessairement !
  • Pince-oreille
    Pince-oreille
    Salut Yann. ,
    <BR>
    <BR>Alors en fait mon prof ne m'a pas montré ce que tu dis, mais je l'ai vu avec les applications linéaires (ça doit etre pareil avec les applications bilinéaires, je vais essayer de le faire...).
    <BR>Mais moi il a pas dit <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="378" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84855/cv/img1.png&quot; ALT="$ \vert\vert B\vert\vert = \inf\{C>0 ; \vert\vert B(x,y)\vert\vert <= C\vert\vert x\vert\vert \vert\vert y\vert\vert ; \forall x,y \in E\}$"></SPAN>, j'ai eu une autre définition :
    <BR>
    <BR>||B|| = sup||B(x,y)||, ||x||=||y||=1
    <BR>
    <BR>En fait, je me suis rendu compte que j'ai un problème du même genre depuis très longtemps :
    <BR>regardez ce document : <a href=" http://www.univ-fcomte.fr/download/ufr_st/document/l3maths/doc_pedagogique/td1_calcul_diff"&gt; http://www.univ-fcomte.fr/download/ufr_st/document/l3maths/doc_pedagogique/td1_calcul_diff</a&gt;
    <BR>
    <BR>en fait, l'exercice 5, je l'ai jamais fait, et mon prof ne nous a jamais dit pourquoi la norme d'opérateur d'une application LINEAIRE était bien définie (borne sup finie) ! Je crois que de faire cet exo 5 m'aiderait pour les aplications BIlinéaires ! Pouvez-vous me donner des indications svp, pour cet exo 5 ! :)
    <BR>
    <BR>Merci merci beaucoup <BR>
  • Probaloser
    Probaloser
    Houlà, il faudrait éclaircir cela effectivement, c'est important ! Le fait que le sup soit fini est équivalent au fait que l'application soit continue. Est-ce cela que tu veux ? (j'ai du mal à débrouiller ce que tu sais de ce que tu ne sais pas en fait...).
  • Pince-oreille
    Pince-oreille
    Oui en effet c'est cela que je voudrais montrer.
    Je sais qu'une application linéaire est continue ssi elle est continue en 0, ssi elle est bornée au voisinage de 0, etc (les théorèmes "de base")
    Et en fait, apparemment, une définition de la norme d'opérateur est $||B|| = \inf\{C>0 ; ||B(x)|| \leq C ||x|| \}$, et je voudrais donc aussi savoir pourqoi cette définition est équivalente à ||B|| = sup||B(x)||, ||x||=1

    voilà. je vais essayer de trouver quelques réponses sur un bouquin quand même.

    Merci encore.
  • Yann.
    Yann.
    en effet, le logique est la même ! si tu le montres pour les applications linéaires, à qq modifs près c pareil pour les applications bilinéaires.
    Essaie de montrer par ex que si E et F désignent 2 evn, et f: E -> F linéaire, alors :
    f est continue en 0
    f est continue
    f est uniformément continue
    f est lipschitzienne
    il existe un réel C>0 tq pr tt x ds E, ||f(x)|| <=C||x||
    f bornée sur B(0 ; 1) (boule fermée)
    f bornée sur S(0 ; 1)

    puis que :
    ||f||:=sup{||f(x)|| ; ||x||=1} = sup {||f(x)||/||x|| ; x ds E, x <>0} = inf{C>=0; pr tt x ds E, ||f(x)||<=C||x||}
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