calcul de produit infini

bisam · April 2006

Pour une fois, c'est moi qui ait une question à poser à la façon de fjaclot...

Sauriez-vous comment calculer $\displaystyle{\prod_{k=1}^{+\infty} (1-6^{-k})}$ ?

Kuja · April 2006

Bonjour bisam,

la seule chose que je sais, c'est qu'on peut faire le lien avec les fonctions theta de Jacobi :
<http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticThetaPrime1/08/>

Après, il faut savoir les calculer ...

Yalcin · April 2006

Bonjour bisam

Je ne pourrai pas donner une réponse, mais je peux essayer de donner une belle approximation avec 8 ou 9 décimales :

$$\frac{{\root 3 \of {6^2 } }}{{\sqrt {12 + \sqrt {23} } }}$$

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

Probaloser · April 2006

Et pourquoi ne pas faire des maths Yalcin ? Tu en as l'air capable...

KPD · April 2006

Je ne comprends pas la remarque de Probaloser...

Je pense comme kuja qu'il faut passer par les fonctions theta de Jacobi (même si le lien proposé est un peu succint, mathworld propose un exposé plus complet)

Je cherche

Yalcin · April 2006

Je n'arrive jamais à comprendre les personnes qui n'aiment pas que je donne des approximations parfois.

Bon je les respecte énormément encore

Probaloser · April 2006

Ce n'est pas que je n'aime pas, c'est juste que j'ai parfois l'impression que tu surévalues la pertinences de ces approximations (qui ne sont, sauf bévue, qu'un jeu d'ajustement avec un calculateur...). Boaf je me suis un peu emporté, désolé !

Yalcin · April 2006

Ne soit pas désolé, pas grâve

Alain Debreil · April 2006

Bonjour Bisam

Je ne pourrai pas donner une réponse, mais je peux essayer de donner une belle approximation avec 8 ou 9 décimales : $$\frac{{\root 3 \of {6^2 } }}{{\sqrt {12 + \sqrt {23} } }}$$ Cordialement Yalcin

t1 · April 2006

Après tout, si on cherche le genre de formule de celle de Yalcin pour cos(2pi/17) on finit par tomber juste, or le cosinus est un analogue des fonctions elliptiques. Des valeurs particulières de fonction de Jacobi peuvent donner des formules de ce type, ce n'est pas exclu.

jean Lismonde0 · April 2006

bonsoir bisam

il me semble que tu as déjà posé cette question il y a quelques mois...

la fonction g(x) définie par g(x)=(1-x)(1-x²)......(1-x^n).......avec 0 < x < 1

a été étudiée par Euler qui en déduit le théorème du nombre pentagonal

d'autre part g est liée par une relation fonctionnelle à Eta la fonction de Dedeking et a servi à Riemann pour sa fonction Théta

pour x=1/6 la série converge bien-sûr, elle prend une valeur comprise entre 0 et 1 mais cette valeur n'est pas à ma connaissance une constante classique

le calcul empirique direct ne pose pas de problème, on trouve:0,80568773...

cordialement

bisam · April 2006

oui, je crois que j'avais déjà posté la question... mais je ne l'ai pas retrouvée alors j'ai eu un doute.

Merci à tous pour vos réponses... même si je reste un peu sur ma faim.

fjaclot;0 · April 2006

Bonjour Bisam,

J'aurais aime pouvoir contribuer, mais.......

fjaclot;

borde · April 2006

Bisam, une question : pourrais-tu nous indiquer le contexte dans lequel ce produit intervient ?

S'agit-il d'une question isolée que tu te poses, ou ce produit repésente-t-il quelque chose dans un calcul donné ?

Merci,

Borde.

jean Lismonde0 · April 2006

bonjour

il est probable que bisam pose la question: ce genre de produit infini peut-il s'exprimer comme les produits eulériens avec les fonctions classiques (sinus, cosinus, sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique)

à ma connaissance la réponse est non

cordialement

med · April 2006

Salut,

Je ne veux pas déranger, mais, je pense que le passage aux logarithmes n'est pas une mauvaise idée!
$$ln(\prod_{k=1}^{+\infty} (1-6^{-k}))=\sum_{k=1}^{+\infty}ln(1-6^{-k})$$

med

Guimauve0 · April 2006

med, en passant par le logarithme on trouve que le produit de bisam vaut
\[ \exp \left( - \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} \frac{1}{6^i-1} \right) \]

Et on n'est pas plus avancé, la faute à ce fichu $-1$ au dénominateur !

med · April 2006

Merci Guimauve, une autre remarque que j'espère pas trop tardive comme la première, pourquoi précisiment le 6, pourquoi pas un a qui soit strictement supérieur à 1.
$$\displaystyle{\prod_{k=1}^{+\infty} (1-a^{-k})}$$
cordialement
med

bisam · April 2006

En fait, la question provient d'un exercice qu'un de mes élèves a entendu provenant d'un copain d'un copain... Bref, on ne connaît plus vraiment la provenance.

L'exercice est posé ainsi :

On considère le jeu suivant :
On commence par jeter un dé (à 6 faces d'égales probabilités). Si on fait 6, le jeu s'arrête. Sinon, on lance 2 dés. Si on fait 2x6, le jeu s'arrête, sinon on lance 3 dés, etc...

Quelle est la probabilité que le jeu s'arrête ?

Si je ne me trompe pas, la probabilité en question vaut 1-P où P est le produit dont je réclame une valeur plus simple.

J'ai donc fourni la réponse que j'avais trouvée sous forme de produit infini, avec la preuve de la convergence, ainsi que la forme donnée par Guimauve mais j'étais déçu (et l'élève aussi) qu'on ne puisse aller plus loin. Puis cet exercice est revenu à la surface par un collègue de maths à qui l'on avait posé le même problème. Ceci explique ma récidive.

med · April 2006

Effectivement,la probabilité pour que le jeu ne s’arrête pas est:
$$P=(1-1/6)(1-1/6²)...=\prod_{k=1}^{+\infty} (1-6^{-k})$$
Donc pour qu'il s'arrête c'est 1-P, et tjs pour qu'il s'arrête c'est
$$\displaystyle{1/6+(5/6)(1/6)²+(5/6)^3(1/6)^3+...=\sum_{k=1}^{\infty}(5/6)^{\displaystyle{\sum_{i=0}^{k-1}i}}(1/6)^k}$$
D'où on peut tirer une nouvelle forme de $P$:
$$P=\prod_{k=1}^{+\infty} (1-6^{-k})=1-\sum_{k=1}^{\infty}(5/6)^{\displaystyle{\sum_{i=0}^{k-1}i}}(1/6)^k$$
qui peut-être un lien sacré (probabilités)--(Produits infinis).

Cordialement

med

calcul de produit infini

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