martingale L2=>bornée?

e=mc31
e=mc31
dans Les-mathématiques
réf. OUvrard probabilités Tome II p365.

Je rappelle que pour toute variable aléatoire Z réelle $\cal B$ mesurable et $bornée$ toute variable aléatoire réelle Y dans $L^2(\cal A)$ ($\cal B$ sous tribu de $\cal A$) on a :

$E^{\cal B}ZY=ZE^{\cal B}Y$

soit $X_n$ une martingale dans $L^2$ adaptée à la filtration ${\cal A}_n$

Ouvrard écrit
$E^{{\cal A}_n}(X_n X_{n+1})=X_n E^{{\cal A}_n}X_{n+1}$


$X_n$ n'a à priori aucune raison d'être bornée non?

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    Tu n'as pas besoin que $Z$ soit borné pour le sortir de l'espérance (la preuve est toujours la même, par engendrement).
  • e=mc31
    e=mc31
    j'essaye donc de démontrer que:


    $E^{\cal B}ZY=ZE^{\cal B}Y$

    avec $Y\in L^2(\cal A)$
    $Z\in L^2(\cal B)$

    et $\cal B$ sous tribu de $\cal A$

    par Cauchy Schwartz on a $ZY\in L^1(\cal A)$

    on se trouve donc dans le cadre de la théorie $L^1$ de l'espérance conditionnelle, donc pour tout $B\in \cal B$

    $E(1_B(E^{\cal B}ZY))=$
    $E(1_BZY)=$
    $E((1_BZ)Y)=$
    $E((1_BZ)E^{\cal B}Y)$ (car 1_BZ est B mesurable)

    on conclue par le théorème de caractérisation de l'espérance conditionnelle
  • alekk4
    alekk4
    si $Y$ et $Z$ sont $L^2$, c'est assez facile car l'espérance conditionnelle de $YZ$ est la projection orthogonal dans $L^2(\cal A)$ de $YZ$ sur $L^2(\cal B)$, qui est un sous espace vectoriel complet.
  • e=mc31
    e=mc31
    Alekk
    pour cela il faudrait que le produit de deux éléments de L2 soit dans L2
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