limite d'une intégrale

Oups! désolé! je n'ai pas lu l'énoncé correctement!

Bonjour

Une autre méthode longue peut être (en utilisant la fonction Bêta,Gamma et un changement de variable):

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - x^n } } dx = \frac{1}{n}\int\limits_0^1 {t^{\frac{1}{n} - 1} \left( {1 - t} \right)^{\frac{3}{2} - 1} } dt = \frac{1}{n}B\left( {\frac{1}{n};\frac{3}{2}} \right)}$

$\displaystyle{= \frac{1}{n}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{1}{n} + \frac{3}{2}} \right)}} = \frac{1}{n}\frac{{\left( {n - \gamma + O\left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)\frac{{\sqrt \pi }}{2}}}{{\frac{{\sqrt \pi }}{2} + O\left( {\frac{1}{n}} \right)}}}$

$\displaystyle{\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - x^n } } dx = 1}$

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

Autre méthode, fonctionnant souvent pour les fonctions de ce type, qui viennent se coller contre $y=1$ quand $n$ tend vers l'infini, sauf au voisinage d'un point : scinder l'intégrale en deux, avec une partie tendant vers 0, et l'autre explicitable et tendant vers ce que l'on veut.

{\bf Exercice.} Montrer que :
$$\boxed{\lim_{n\to +\infty}\int_0^1\sqrt{1-x^n}\math{d}x=1}$$

{\it Résolution.}
On prend $n\ge 2$.\\
Une simple analyse de fonction (dérivée, tableau de variation) montre que :
$$\forall x\in\left[0;\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}\right],\; 1-\frac{x}{n}\le 1-x^n\le 1$$
Donc, {\it a fortiori} :
$$\forall x\in\left[0;\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}\right],\; 1-\frac{x}{n}\le\sqrt{1-x^n}$$
On note $\xi(n)=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}

L'exercice posé en fait un cas particulier du suivant: soit f continue sur [0;1] et dérivable en 0, montrer que:
$$\int_0^1 f(t^n)\,dt \to f(0)$$

Soit $u_n=\int_0^1 [f(t^n)-f(0)]\,dt$, le changement de variable $u=t^n$ (sur $]0;1]$) nous ramène à:
$$\frac1n\int_{]0;1]} \frac{f(u)-f(0)}u\sqrt[n]{u}\,du$$
L'intégrale étant bornée, le résultat en découle.