sur les fonctions C-infini

Bonjour,

localement, il n'y a pas de soucis :

$\frac{\partial f}{\partial x}$ ne dépend que de $x$ car :

$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y_1) - \frac{\partial f}{\partial x}(x,y_2) = \int_{y_2}^{y_1} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,t) dt$

(et de même $\frac{\partial f}{\partial y}$ ne dépend que de $y$)

Puis tu peux écrire que :

$f(x,y)-f(x_0,y_0) \ = f(x,y)-f(x,y_0) + f(x,y_0) - f(x_0,y_0)$

et introduire les intégrales des dérivées premières en $x$ et $y$.

Ca ne m'a pas l'air de marcher en général. Notons $C$ le carré unité $[0,1]^2$. Prenons la réunion de $C$, $C+(0,1)$, $C+(1,0)$, $C+(2,0)$, $C+(2,1)$. Notons $D$ cette réunion. Si je ne me suis pas planté c'est une sorte de $U$.

Prenons maintenant une fonction qui est nulle sur les $4$ premiers carrés définissant $D$ et qui sur le dernier vaut, en un point $(x,y)$, $h(y)$ où $h$ est une fonction $C^{\infty}$ de $\R$ dans $\R$, nulle sur $[0,1]$ et non identiquement nulle sur $[1,2]$.

Sauf bévue ça donne un contre-exemple (et ça serait plus simple de l'expliquer avec un dessin).

Ca donne une idée des restricitions sur un éventuel résultat général (genre l'intersection de toute droite horizontale / verticale avec le domaine est un intervalle, mais j'ai pas réfléchi).

Toto : il suffit effectivement d'ouvrir mon $U$, le contre-exemple marche toujours.

Par ailleurs, sans avoir mis le nez dedans, il me semble qu'il suffise (comme je l'ai dit plus haut (enfin à ce moment là ça me paraissait plausible)) que l'intersection de toute droite horizontale ou verticale avec l'ouvert soit un intervalle (ce qui est moins fort que la convexité).