convexité: critère dénombrable

e=mc31 · April 2006

pour démontrer une inégalité de convexité type Jensen conditionnel Ouvrard (Probabilités Tome II p197) dit que toute fonction convexe sur R peut s'exprimer comme la borne supérieure d'une famille dénombrable de fonctions affines. La dénombrabilité semble être utilisée par la suite en un point qui n'est pas très clair pour l'instant à mes yeux. Mais ce qui me gêne c'est ce caractère dénombrable. Généralement la caractérisation est à l'aide d'une borne supérieure d'une famille non dénombrable de fonctions affines dans la mesure où il s'agit des droites d'appuis et qu'il y en a la puissance du continu.

Probaloser · April 2006

Il y a des p.s. un peu partout, d'où le besoin de dénombrabilité (sans compter éventuellement des problèmes de mesurabilités, j'ai pas les détails en tête sans réfléchir).

Par ailleurs ce n'est pas parce qu'en général on se contente d'un sup d'une famille non dénombrable qu'on ne peut pas se ramener à un sup d'une famille dénombrable.

La question est-elle de savoir comment on parvient à se contenter d'une famille dénombrable ?

Gecko · April 2006

Peut etre que ca vient du fait que $\R^n$ est séparable non?
et que l'on ne regarde que des fonctions de $\R^n$ dans $\R$ pour cette version de l'inégalité de Jensen

Saïd7 · April 2006

Bonsoir
Si$ f$ est convexe sur $I$alors
$f$ est l'enveloppe superieure de la famille $(f_{\lambda})_{\lambda \in I}$ où $f_{\lambda}(x)=f(\lambda})+(x-\lambda)f'_d(\lambda)$

et il s'ensuit que ponctuellement $f(x)$ est la borne supérieure d'une famille dénombrable de $a_nx+b_n$ et non globalement ce qui est impossible (les $a_n$ et $b_n$ dependent de $x$)

Probaloser · April 2006

Les $a_n$ et $b_n$ dépendent de $x$ ? Je ne vois pas ce que tu veux dire said...

alekk4 · April 2006

on se restreint au fonctions affines du type $y=ax+b$ où $a,b$ sont rationnels. Ca permet entre autre d'avoir une démo assez rapide de Jensen.

Gecko · April 2006

c'est donc bien la séparabilité qui entre ne jeu ici

e=mc31 · April 2006

Merci à vous

Probaloser:
"La question est-elle de savoir comment on parvient à se contenter d'une famille dénombrable ?"
OUI

lire page 167 et non page 197

Said:
je suis d'accord avec toi. Le problème c'est qu'Ouvrard dit qu'il existe an et bn tels que pourt tout x on ait $g(x)= sup_n(a_nx+bn)$ ce qui est une epression globale

Alekk:
tu peux préciser

e=mc31 · April 2006

pour remonter le poste

e=mc31 · April 2006

et encore un coup d'ascenseur

t1 · April 2006

bonjour,

Posons E=[ $(a,b)\in \R² :f(x)\geq ax+b, \forall x$ ].
Soit X=$(a_n,b_n)$ une partie dense de E.
On fixe $x \in R$ quelconque.
On notera g(a,b)=ax+b.
g étant linéaire il est clair que l'adhérence de g(X) est égale à g(E).
Donc sup g(X)=sup g(E)=f(x).

Toutefois je n'en vois pas l'intérêt pour démontrer la formule de Jensen, puiqu'elle résulte de l'inégalité

$sup \int \leq \int sup$

trivialement vraie mour n'importe quelle famille de fonctions.

e=mc31 · April 2006

t1

comment exhibes tu ta partie dense X.

posons par exemple $X=E\cap \Q$ (c'est la seule chose qui me vienne à l'esprit). je ne vois pas pourquoi l'adhérence de X serait E

Ensuite il s'agit du Jensen conditionnel, à priori un peu moins facile à démontrer que le jensen "classique"

t1 · April 2006

$\ R²$ est séparable donc il a un système fondamental dénombrable de voisinages de la forme $B(x_n,r_n)$
$\forall n$ on choisit $y_n \in B(x_n,r_n)\cap E$, s'il est non vide.
$\forall x \in E, \forall \varepsilon >0, \exists n | x\in B(x_n,r_n)\subset B(x,\varepsilon).$
$y_n \in B(x,\varepsilon)\cap E.$
La suite $(y_n)$ est donc une partie dense extraite de E.

Sinon, pour la formule de Jensen conditionnelle, je n'avais pas bien lu, désolé.

convexité: critère dénombrable

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion