Déterminant de matrice

Celelibi
Celelibi
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Je suis en train de faire un exercice où le but est de déterminer le déterminant de la matrice, mais je bloque sur une question.

On appel D(n) le déterminant de la matrice $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ définie comme suit :
$a_{ii} = 1+x^2$
$a_{ij} = x$ si |i-j| = 1, sinon 0

Il n'a pas été difficile de répondre à la première question qui était de définir D(n) en fonction de x, D(n-1) et D(n-2).
J'ai donc trouvé : $D(n) = (1 + x^2) \times D(n-1) - x^2 \times D(n-2)$

Mais, je dois maintenant en déduire que $D(n) - D(n-1) = x^{2n-4}(D(2) - D(1))$

J'ai pensé à utiliser les suites, mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre.

Je précise que je suis en L1.


Merci d'avance à ceux qui me répondront.

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    Exprime $D(n)-D(n-1)$ en fonction de $D(n-1)-D(n-2)$.

    Par ailleurs, la première question ne demandait pas de définir $D(n)$...
  • Johann5
    Johann5
    On voit donc que D(n)-D(n-1)=x²*(D(n-1)-D(n-2)) donc la suite de terme général D(n)-D(n-1) est géométrique de raison x². Le résultat s'ensuit !
  • Celelibi
    Celelibi
    Ahhh mais oui, pourquoi j'ai pas vu ça.
    Merci bien.

    Probaloser tu as tout à fait raison, il s'agissait d'exprimer, et non de définir.

    Mais maintenant je me trouve face à un autre problème.
    J'ai bien $D(n) - D(n-1) = x^{2n-4} (D(2) - D(1))$
    Avec
    $D(1) = 1 + x^2$
    $D(2) = (1+x^2)^2 - x^4 = 2x^2 + 1$
    Ce qui me donne donc $D(n) - D(n-1) = x^{2n-2}$
    Étant donné qu'avec $D(n) - D(n-1)$ j'ai l'expression de la différence entre deux éléments consécutifs de la "suite" $D(n)$, je peux calculer $D(n)$ de la façon suivante :
    $D(n) = D(1) + \displaystyle{\sum_{i=2}^n} x^{xi-2}$

    Mais n'y a-t-il pas d'autre moyen de faire ce calcul sans utiliser la somme ?
    De plus j'ai testé avec maxima, et j'obtiens des résultats différents pour D(3) selon si c'est calculé via la somme sus-cité, ou via la fonction prédéfinie "determinant".
    Avec la somme j'obtiens $x^4+2x^2+1$
    et avec la fonction determinant() (après avoir défini la matrice bien sûr) j'ai $x^4 + x^2 + 1$

    Après avoir calculé à la main le déterminant de la matrice 3*3, je trouve comme avec la somme, ce qui tend à me rassurer partiellement (partiellement car ça voudrait dire que c'est maxima qui se trompe pour un calcul aussi "bête").

    Mon résultat est-il correcte ?
    Si oui, n'y a-t-il pas d'autre moyen que de passer par la somme ?
    Et si il n'y a pas moyen de se passer de la somme, n'y a-t-il pas une façon plus belle de rédiger ça, plutôt que de dire que j'ai "l'expression de la différence entre deux éléments consécutifs de la suite" ?

    Merci d'avance. :)
  • Johann5
    Johann5
    Ton résultat parait correct.

    "Et si il n'y a pas moyen de se passer de la somme, n'y a-t-il pas une façon plus belle de rédiger ça, plutôt que de dire que j'ai "l'expression de la différence entre deux éléments consécutifs de la suite ?"

    Non, la méthode de sommation télescopique est celle que l'on attend dans ce contexte !

    Néammoins, si tu sais traiter le cas des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (u(n+2)=au(n+1)+bu(n)), tu peux te passer de cette indication de calculer D(n)-D(n-1).
  • Celelibi
    Celelibi
    Les suites linéaires réccurentes d'ordre 2 ne me rappelle rien, donc je crois que je vais laisser comme c'est.


    Encore merci à tous.
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