fonctions caractéristiques

C'est peut-être justement ce qu'on demande à drolusque de montrer, non ?

Je viens de consulter un bouquin (Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 1), et il n'utilise pas le théorème des classes monotones, à moins que je ne vois pas la subtilité quelque part.
Mais il le fait dans le cadre général et non pour une gaussienne en particulier. La technique ne semble pas se simplifier pour ce cas particulier, mais peut-être existe-t-il une autre méthode pour démontrer le résultat, je ne sais pas.

Si ça t'intéresse, je peux taper la preuve ce soir (pas le temps maintenant).

bonjour

pour la démonstration de la propriété directe il suffit d'appliquer la réciprocité de Fourier avec g fonction caractéristique d'une loi continue de fonction densité f:

si g(t)=(1/rac(2.pi))intégrale de moins l'infini à plus l'infini de exp(itx).f(x).dx alors:

f(x)=(1/rac(2pi))intégrale de moins l'infini à plus l'infini de exp(-itx).g(t).dt

ici g(t)=(1/rac(2.pi).exp(-t²/2)

(tu as oublié le coefficient 1/rac(2.pi) devant la fonction caractéristique) et donc:

f(x)=(1/rac(2.pi))intégrale de moins l'infini à plus l'infini de exp(-itx-t²/2).dt

par un changement de variable d'intégration u= t+ix (soit du=dt) on trouve:

f(x)=(1/rac(2pi))exp(-x²/2)

fonction densité d'une variable aléatoire gaussienne centrée réduite

cordialement