[capes] homothéties

geo
geo
dans Les-mathématiques
bonjour

Dans un dossier d'oral 2 j'ai un exercice à résoudre ou je dois me servir de la composé d'homothéties or la composé de deux homothétie ne semble pas au programme de lycée.
En fait je veux montrer que la composé de deux homothéties de centres $O$ et $O'$ et de rapport $k$ et k'$ est une homothétie de rapport $k.k'$ et de centre $O"\in (OO')$ .
Je sais le montrer mais pas au niveau lycée.
A ce niveau on peut juste trouver le centre.
Comment montrer que la composé de deux homothéties est une homothétie, sans utiliser la définition d'une application affine?
(ie: sans dire que f a pour application linéaire associée une homothétie vectorielle)

merci

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    Par curiosité, comment définit-on une homothétie au lycée (j'avoue ne pas savoir comment on évite de parler de l'homothétie vectorielle).
  • J2L21
    J2L21
    La composée peut aussi être une translation !

    sinon, la droite OO' est invariante par chacune des 2 homothéties, donc par leur produit => le centre O'' du produit se trouve sur la droite OO' (sa position exacte se trouve facilement par le calcul)
  • Emmanuel Dubois
    Emmanuel Dubois
    J2L2 :
    ma question est peut-être stupide, mais je la pose quand même, quitte à me faire chambrer ;-) : tu parles du "centre du produit", comment sais-tu qu'il en possède un, étant donné qu'on ne connaît a priori pas sa nature ?
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour geo.

    L'astuce (ou le fond de la question) est la suivante : une application {\bf ponctuelle} d'un espace affine est une homothétie ou une translation si, et seulement s'il existe un réel $k \neq 0$ tel que pour tout couple de points $(M,N)$ d'image $(M',N')$ on ait :$$\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}.$$Bien entendu, si $k = 1$, il s'agit d'une translation et si $k \notin \{0,1\}$, c'est une homothétie dont le centre est le barycentre des points $(M,-k)$ et $(M',1)$.

    Ceci n'est peut-être pas au programme des lycées, mais n'utilise pas plus que ce programme.

    Bruno
  • J2L21
    J2L21
    pas de pb !

    --> si kk' = 1, on a une translation, sinon, c'est une homothétie
  • Emmanuel Dubois
    Emmanuel Dubois
    J2L2 :
    oui, très convaincant, en effet ! merci ;-)
  • Bruno
    Bruno
    Quelque chose qui est à peine plus subtil : soit $f$ une application ponctuelle qui transforme tout ensemble de points alignés en un ensemble de points alignés sur une droite parallèle à la précédente, est une translation si elle n'a pas de point fixe, une homothétie si elle ne possède qu'un point fixe et l'identité sinon.

    Bruno
  • GERARD5
    GERARD5
    Je ne vois pas de problème dans la démonstration (sauf peut-être la difficulté à la faire suivre par les élèves) :
    * Si k k' = 1, on montre facilement, par les vecteurs, que c'est une translation (M -> M' -> M" et N -> N' -> N" alors M"N" et MN sont des vecteurs égaux)
    * Sinon, on définit le centre P sur OO' et on montre que en vecteurs PM" = kk' PM, car P est invariant.

    J'ai fait cela en exercice en seconde, mais il y a longtemps !

    Cordialement
  • Emmanuel Dubois
    Emmanuel Dubois
    probaloser :
    je pense qu'au lycée on définit une homothétie $h$ comme étant une application du plan (affine) dans lui-même tq il existe un pt $O$ et un réel $k$ non nul tels que $\vect{Oh(M)} = k . \vect{OM}$.
  • Probaloser
    Probaloser
    Merci Emmanuel. On est donc pas loin de parler de l'application linéaire associée. Je ne vois pas trop les scrupules de géo du coup.
  • Emmanuel Dubois
    Emmanuel Dubois
    Probaloser,

    oui, et la preuve de Gérard dans ce cadre me convaint tout à fait.

    [désolé pour mon manque de politesse (oubli de majuscule et absence de salutations qui sont pourtant d'usage) et pour le $\LaTeX$ non parsé]

    Cordialement,
    ED
  • J2L21
    J2L21
    Qui a trouvé la démonstration de la propriété de Bruno ?

    je cherche à montrer que f est affine, mais ce n'est peut-être pas la meilleure solution ...
  • Bruno
    Bruno
    Tu parles de la seconde je suppose J2L2 ?

    Un p'tit coup de pouce : on identifie les transformations. D'abord un petit lemme, si $f$ a un point fixe $O$ et si $M \neq O$ que dire de l'image par $f$ de la droite $(OM)$ ? Ensuite tu supposes que $f$ a deux points fixes distincts.

    Bruno
  • Emmanuel Dubois
    Emmanuel Dubois
    J2L2 :
    il me semble, de mémoire, que la conservation de l'alignement est une caractérisation du caractère affine d'une application ponctuelle : tu devrais donc y arriver...

    Cordialement,
    ED
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour Emmanuel.

    Ou bien tu considères les bijections du plan qui tranforment les droites en des droites, ce sont les transformations affines effectivement. Ou bien tu utilises le théorème, quelque fois appelé théorème fondamental de la géométrie affine {\bf réelle} : toute bijection entre espages affines qui conserve l'alignement est une application affine.

    La caractérisation est justement formulée pour empécher le recours à ces deux théorèmes : il n'est pas précisé que $f$ est bijective et il n'est pas dit que l'image d'une droite est une droite, il faut bien apporter quelque chose de nouveau.

    Bruno
  • J2L21
    J2L21
    Merci à Bruno pour son coup d'pouce !

    Pour ED : la caractérisation dont tu parles fait intervenir les barycentres !
  • Emmanuel Dubois
    Emmanuel Dubois
    Bonjour Bruno,

    Effectivement, ma lecture trop rapide de ton énoncé m'a empêché de voir cette subtilité (c'est effectivement au théorème fondamental de la géométrie affine réelle auquel je pensais).

    Merci de ces précisions, je vais chercher encore !
    cordialement
    ED
  • lolo
    lolo
    et dire qu'en 82 les applications linéaires associées étaient au programme de TC (nostalgie...) .

    lolo
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Probaloser :
    Je pense qu'au lycée on définit une homothétie $h$ comme étant une application du plan (affine) dans lui-même telle qu'il existe un pt $O$ et un réel $k$ non nul tels que $\overrightarrow{Oh(M)} = k . \overrightarrow{OM}$.
  • GERARD5
    GERARD5
    Eh oui, lolo, mais les élèves (et certains profs, comme un de mes collègues, enseignant en terminale E) ne connaissaient pas les triangles isométriques !
    Chacun a les nostalgies qu'il peut !

    Cordialement
  • geo pas logué
    geo pas logué
    bruno qu'est ce qu'une application PONCTUELLE du plan affine ?
  • J2L21
    J2L21
    application PONCTUELLE : à un point, on associe un point
  • chris26
    chris26
    En spé math de term S, on fait une étude assez complète des similitudes directes via les complexes et ça règle très vite les questions de composées, de position du centre, etc.
    De manière générale, les applications linéaires associées sont toujours contournables.
    En 84, pour ma part, on parlait de groupe des homothéties-translations.
    Pour composer deux tels objets, sans rien savoir de la nature de la composée, on peut tout faire avec du calcul vectoriel élémentaire (relation de Chasles).
  • jeaneric1
    jeaneric1
    Bonjour,

    si $h_1$ et $h_2$ sont deux homothéties de centre respectivement $O_1$ et $O_2$ et de rapports $k_1$ et $k_2$ tels que $k_1k_2\neq 1$ alors,
    les deux composées $h_1 o h_2$ et $h_2 o h_1$ sont deux homothéties de rapport $k_1k_2$ dont les centres sont respectivement les barycentres de
    \[ \{ (O_1, 1-k_1)\ ; \ (O_2, k_1-k_1k_2) \} \] et
    \[ \{ (O_1, k_2-k_1k_1)\ ; \ (O_2, 1-k_2) \} \]

    C'est un exercice du terracher qui permet de réinvestir les barycentres.

    Jean-éric.

    On peut faire une démonstration en utilisant les nombres complexes par exemple.
  • Bruno
    Bruno
    Pour geo, logué ou pas,

    Je suis navré, mais je viens seulement de résoudre un problème de démarrage d'ordinateur. Ceci dit, J2L2 t'a répondu.

    Bruno
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