Convergence: définitions

Sylvain
Sylvain
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Je définis les notions de convergence fine et grossière relativement à une suite de distances:

$S_n$ converge finement vers $S$ relativement à la suite de distances $(d_n)$ si: $\forall\epsilon>0\exists N\in\N$ tel que $n>N$ et $m>N\Rightarrow d_m(S_n,S)0\exists N\in\N$ tel que $n>N\Rightarrow d_n(S_n,S)

Réponses

  • corentin0
    corentin0
    A quoi ça sert?
  • Sylvain
    Sylvain
    A faire converger des séries divergentes, mon cher Corentin.
  • Probaloser
    Probaloser
    La question de Corentin était peut-être : as-tu des exemples où cette notion intervient de manière pertinente ?
  • GERARD5
    GERARD5
    En choisissant bien les distances, tout converge (par exemple $d_n (x,y) = \frac{|x-y|}{n S_n}$ ). Donc l'intérêt est d'avoir des distances "pas trop grossières".
    Qu'as-tu fait avec ces notions ?
  • Sylvain
    Sylvain
    En fait mon idée était de donner une définition générale de la convergence d'une série pour qu'une égalité comme celle d'Euler:

    $1+2+4+8+...=-1$ soit licite.

    Dans ce cas précis on $d_n(x,y)=e^{-v_2(|x-y|)}$.

    On a alors $d_n(S_n,S)=d_n(2^n-1,-1)=e^{-n}$.

    Remarquons que $\sum_n d_n(S_n,S)$ converge au sens classique (vers $\frac{e}{e-1}$), alors que je ne suis pas sûr que ce soit le cas de la distance que tu proposes, Gérard.

    Il serait intéressant de déterminer, pour une série $S_n$ donnée, l'ensemble des suites $(d_n)$ telles que $S_n$ converge finement vers $S$ relativement à $(d_n)$ et telles que $\sum_{n} d_n(S_n,S)$ converge au sens classique.

    Avis aux amateurs !

    Sylvain
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