mesure et application holomorphe
dans Les-mathématiques
Bonjour,
je suis bloqué sur une question que je me posais:
On considère une mesure de probabilité à support compact K, $\mu$ telle que $$I(\mu)=\int_K log|z-w|d\mu(w) d\mu(z) \geq I(\nu)=\int_K log|z-w|d\nu(w) d\nu(z) $$ pour toute autre mesure $\nu$ de probabilité à support dans K. On dit que $mu$ est une mesure d'équilibre pour K.
J'aimerai montrer que $\mu_*$ définie par $\mu_*(E)=\mu(f(E))$ avec f une application holomorphe bijective, a réciproque holomorphe de K vers K', est elle même une mesure d'équilibre, mais maintenant sur K'.
Ca parrait simple, mais ca ne l'est pas, et ca fait une semaine que je suis dessus.
Si vous aviez des pistes, ca m'aiderait beaucoup.
Merci beaucoup.
JC
je suis bloqué sur une question que je me posais:
On considère une mesure de probabilité à support compact K, $\mu$ telle que $$I(\mu)=\int_K log|z-w|d\mu(w) d\mu(z) \geq I(\nu)=\int_K log|z-w|d\nu(w) d\nu(z) $$ pour toute autre mesure $\nu$ de probabilité à support dans K. On dit que $mu$ est une mesure d'équilibre pour K.
J'aimerai montrer que $\mu_*$ définie par $\mu_*(E)=\mu(f(E))$ avec f une application holomorphe bijective, a réciproque holomorphe de K vers K', est elle même une mesure d'équilibre, mais maintenant sur K'.
Ca parrait simple, mais ca ne l'est pas, et ca fait une semaine que je suis dessus.
Si vous aviez des pistes, ca m'aiderait beaucoup.
Merci beaucoup.
JC
Réponses
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Je pige pas. Si je prend pour $\mu$ une masse de Dirac, $I(\mu)$ est infini non ? Et donc $\mu$ mesure d'équilibre équivaut à $I(\mu)$ infini ? Où est-ce que je me plante ?
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Hum. Peut-être dans la lecture trop rapide de "support $K$" que j'ai transformé en "support dans $K$".
-
MAis ça semble ne rien changer à la conclusion "mesure d'équilibre si et seulement si de $I$ infini". Bref je veux bien savoir où je me plante !
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La remarque est judicieuse. Un produit de distribution c'est en
general assez pathologique comme objet....
Je presume que ces mesures doivent etre du type Stieltjes
ou dans le genre pour donner un sens a tes integrales.
A+
eric -
Salut,
oui en fait il faut ajouter que ce sont des mesures de Borel sur notre compact. (ici respectivement K et K') -
Notons une chose, dans le cas du log|0| on trouve -oo et non +oo, et donc ca ne pose pas de problème, tant que l'on trouve une mesure dont l'énergie est supérieure à -oo.
C'est donc un faux problème.
A+ -
Ah oui pardon ! Quelles sont les mesures d'équilibres sur $[0,1]$ ?
-
Je ne sais pas si on doit parler de mesure d'equilibre sur [0,1] du moins avce la formule initiale.(on reste dans $\C$ non?)
Est ce que cette formule est juste au fait?
ca ne serait pas plutot
$$I(\mu)(z)=\int_K log|z-w|d\mu(w) \geq I(\nu)(z)=\int_K log|z-w|d\nu(w) $$
je suppose... et ca ressembelerait a quelque chose de plus connu -
Si sur $[0,1]$ ça n'est pas pertinent, je veux bien une réponse pour le disque unité ou le carré unité.
-
Je crois que je m'ecarte du probleme initial mais en lisant des choses que les fonctions holomorphes
la fonction $I(\mu)=g$ est solution de $\Delta g=\mu$ sur le disque par example au sens des distributions
et en fait l'inegalité de depart est une sorte de minimisation du probeleme variationel associé... je crois -
plutot de maximisation ici
-
Salut,
justement le problème est souvent de trouver la mesure d'équilibre pour un compact donné.
On sait des choses sur elle:
Elle existe et est unique.
Son potentiel (ou la fonction I(mu)(z) introduite par Gecko) est toujours supérieure à elle, est égale à elle quasi-partout sur son support. C'est une fonction sous harmonique, et même harmonique en dehors du support et Imu)(z)=log(|z|)+O(1/z) (ca c'est vrai également si mu n'est pas une mesure d'équilibre)
Finalement, on sait aussi que la mesure est supportée uniquement par la frontière extérieure d'un compact.
Avec cette dernière remarque, conjointement utilisée avec l'existence et l'unicité, on voit que la mesure d'un disque n'est rien d'autre que la mesure de Lebesgue de sa frontière. En effet, car par unicité, notre mesure n'a pas le choix d'être invariante par roration.
Je crois que la recherche de la mesure d'équilibre est un problème étroitement lié aux fonctions de Green.
Si vous aviez des idées pour mon problème, je vous en serai reconnaissant.
Amicalement,
JC -
Note:quand je parle de la mesure de Lebesgue pour la frontière, je parle en fait de la mesure normalisée, comme on l'aura compris, puisque l'on est dans le cadre d'une mesure de probabilité.
-
je crois que dabord il faut un probleme plus simple K doit etre un domaine simplment connexe apres ca devrait marcher
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Merci pour le topo. Je ne pourrais a priori pas t'aider (enfin je réfléchirai peut-être dans le train tout à l'heure). Pour donner une piste sans doute stupide sur un domaine dans lequel je ne me connais pas : y-a-il une représentation exploitable pour ton problème faisant intervenir le brownien ?
-
Salut,
pourquoi un domaine simplement connexe?
On peut prendre un domaine non connexe et non simplement connexe, par exemple une union de deux anneaux. -
parce que...je pense que dans un domaine non simplement connexe on perd l'unicité mais je ne suis pas sur de ca
-
Non on a l'unicité.
D'ailleurs ma remarque précédente n'était utile que pour les domaines non simplement connexes.
Je disais qu'une telle mesure était nécessairement supportée sur la frontière extérieure.
A+ -
je regrette tu ne peux pas definir le log sur un domaine qui n'est pas simplement connexe ou alors je suis completement a coité de la plaque?
-
Je ne vois vraiment pas pourquoi, ici je travaille avec la valeur absolue, donc mon log peut au pire être le log de 0, et dans ce cas ca donne -oo, je ne vois pas ce qui pose problème ...
-
comme quoi j'etais a cote de la plaque!
-
tu trouveras ton bonheur dans (par exemple)
T. Ransford, Potential theory in the complex plane, Cambridge University Press -
Salut,
c'est justement un des mes profs, et j'ai donc naturellement ce livre (mais ca tu ne pouvais pas le savoir
)
Ta remarque me conforte dans l'idée que ce livre est une des référence sur le sujet.
Je pense que c'est le support de cours utilisé à Harvard également.
Merci de cette réponse.
Pour information, la question que je posais était ouverte, en ce sens que nous étudiants, n'arrivions pas à la résoudre, mais l'auteur de la question ne semble pas non plus en mesure de nous répondre précisemment.
Je n'ai eu ces informations que dans la journée, donc ne vous cassez pas la tête pour rien non plus.
Cependant si quelqu'un trouve, qu'il ne se gène pas, ca continue de m'intéresser
Amicalement,
JC
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