à la dérive

aboliten
aboliten
dans Les-mathématiques
bonjour

une théorème étrange

soit G_f(x,y)=lim 1/e{f(x+ey)-f(x)} quand e->0

la dérivée de Gateaux de f

si f est concave ie

f{(1-l)x+ly}>= (1-l) f(x) + l f(y) pour 0=<l=<1

et x est un point ou f est fini alors

G_f(x,y) existe pour tout y meme si f n'est différentiable en x.

je voudrais une explication voire une demonstration de ce théorême car je comprends vraiment pas pq il est encore vrai en cas de non différentiabilité de f en x.

merci

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    Il est visiblement faux. Il suffit de prendre la fonction valeur absolue (de $\R$ dans lui-même) et $x=0$. Tu es sûr de ton énoncé ?
  • Probaloser
    Probaloser
    Bon, prendre l'opposée de la valeur absolue si on tiens à avoir une fonction concave.
  • aboliten
    aboliten
    Moi aussi je pensais à une erreur mais c'est sur le Rockafeller "analyse convexe" et c'est une grande référence donc ton "contre-exemple" est très intéressant
    Mais avec f=-|x| on aurait G_f=y ou -y si je ne me trompe non.

    Merci de ta réponse
  • Probaloser
    Probaloser
    Hum. Apparement on se limite à $e>0$ dans la limite. Voilà alors un autre contre-exemple. L'opposée de la fonction racine carrée, $x=0$ (à moins que l'on ne considère que la gateux-dérivée existe même si la limite est $+\infty$, auquel cas c'est vrai car "la concavité entraine la croissance du taux d'accroissement").
  • aboliten
    aboliten
    bonne remarque

    ce gateux de Gateaux définit les fonctions G_f de R^n dans [-infini,infini[

    merci
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