similitude

jp8 · April 2006

Bonjour,
j'ai réussi à reconnaitre en construisant des images de vecteurs élémentaires l'application linéaire dont la matrice est
(1 -1)
(1 1).
Mais comment prouver que c'est une similitude ?
Merci de vos suggestions.

Nouveau_ici · April 2006

Tu peux écrire la matrice

tu mets racine de 2 devant la matrice et dans la matrice tu remplaces les 1 par racine(2)/2 . Or racine(1)/2=cos(pi/4)=sin(pi/4)

donc tu te retrouves avec racine(2) multiplié par la matrice (cos(pi/4),-sin(pi/4)) a la première ligne et (sin(pi/4),cos(pi/4)) a la deuxième ligne, ce qui constitue une matrice rotation d'angle pi/4 multiplié par un scalaire qui constitue une homotéthie de rapport racine(2)

Homotéthie composée avec une rotation donne une similitude.

jp8 · April 2006

Merci, je vais regarder ça.

P.B · April 2006

Salut,

Bon petite indication :

Une similitude s'écrit comme le produit $OH$, où :
(I) - $O$ est une matrice de rotation (donc $O*O=Id$) et
(II) - $H$ est une matrice d"homotetie" donc diagonale.

Etant donné une telle matrice $M=OH$, comment récupérer des infos sur chacunes des 2 matrices O et H?

Utilise (I) pour récupérer une expression en $H$ puis (II) pour calculer explicitement $H$,

Conclue,

salut

P.B · April 2006

errata : [Corrigé dans le message précédent. AD]
en (I), lire ( donc transposée(O) * O = Id),

Nouveau_ici t'as donné une réponse, essaie tout de même de comprendre d'où cela vient.

jp8 · April 2006

oui, c'est clair. Merci pour ces réponses.
Mais je me pose une autre question :
si l'on ignore que l'on a affaire à une similitude (pas de petites constructions géométriques), comment s'en rendre compte en regardant la matrice ?
Disons que les méthodes que vous me proposez sont du genre :
"je sais que c'est une similitude, voilà comment je le démontre".
Mais si on ne le sait pas ?

jérémy2 · April 2006

Une matrice $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ est une matrice de similitude si et seulement si elle est inversible et $a_{11} = a_{22}$ et $a_{12} = -a_{21}$.
Tu peux essayer de comprendre pourquoi en t'inspirant de ton exemple...

jérémy2 · April 2006

Une matrice $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ est une matrice de similitude si et seulement si elle est inversible et $a_{11} = a_{22}$ et $a_{12} = -a_{21}$.
Tu peux essayer de comprendre pourquoi en t'inspirant de ton exemple...

Bruno · April 2006

Deux questions jp.

1°) La matrice de ton application linéaire est prise relativement à quel type de base ?

2°) Quelle est ta définition de similitude ou quelles caractérisations en connaîs-tu ?

Bruno

jp8 · April 2006

Bruno
1. Tu veux dire qu'une matrice "en soi" n'est pas (ou non) une matrice de similtude ? Que la seule condition nécessaire est qu'elle soit inversible (dans ce cas on trouvera une base dans laquelle l'endomorphisme associé à la matrice est une similitude ?) ?
Donc ce que me propose Jérémy n'est vrai que si l'on travaille dans une base orthonormale ?
2. Pour moi une similitude est une application du plan dans lui-même qui a pour traduction complexe z -> az + b, mais ici, la linéarité implqiue que b = 0. C'est dont la composée d'une rotation et d'une homothétie.

Bruno · April 2006

Tout dépend de ton contexte.

Si tu travailles sur un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé, alors la matrice dont parle Jérémy est la matrice d'une similitude directe. Pour une similitude indirecte, les conditions seraient : matrice inversible et $a_{1,1} = -a_{2,2}$ et $a_{1,2} = a_{2,1}$.

Si c'est la matrice d'une application par rapport à une base non orthonormée, la dite application n'est pas une similitude.

Maintenant, une caractérisation extrêmement commode des similitudes : ce sont les applications qui multiplient les distances par une constante ; c'est visiblement le cas de ton application dans la mesure, toujours, où le repère est orthonormé.

Bruno

similitude

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