Linéarité de l'espérance

Vincent Obaton0
Vincent Obaton0
dans Les-mathématiques
Bonjour
Dans une démonstration je vois :
$E(\alpha X)=\sum_{i=0}^{n}{\alpha kP(X=k)}$

Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas $\sum_{i=0}^{n}{\alpha kP(X=\alpha k)}$

Merci pour vos explications.
Cordialement
Vincent

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    Cherches une démonstration et tout s'éclairera.

    Indication : cherche la loi de $\alpha X$.

    Sinon, pour te convaincre que ton intuition est mauvaise, prend un exemple simple (par exemple $X$ constante égale à $1$ et $\alpha=2$).
  • vandeville alexandre2
    vandeville alexandre2
    Parce qu'$$E(aX)=aE(X)=a \sum k P(X=k) = \sum a k P(X=k)$$ (en posant $a:= \alpha$ :).
  • Sisbai
    Sisbai
    Ce n'est pas le théorème de transfert qui est là dessous ?
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    Merci mais justement la démonstration
    est de démontrer que $E(\alpha X)=\alpha E(X)$.
    Je vais chercher avec la Loi $\alpha X$
    Merci
    Vincent
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    En fait c'était plutôt
    $\sum_{i=0}^{n}{kP(\alpha X=k)}$

    Je n'arrive toujours pas à trouver pourquoi
    c'est égal à :
    $\alpha \sum_{i=0}^{n}{kP(X=k)}$

    Mais je cherche encore :-)
    Vincent
  • all1
    all1
    Bonjour Vincent,

    Pour te convaincre du résultat, commence avec un exemple simple.
    $P(X=1) = 0.5$
    $P(X=0) = 0.5$
    Prends $\alpha$ = 2. Alors,
    $E[2X] = 0.P(2X=0) + 2.P(2X=2)$ puisque tous les autres évènements sont de probabilité nulle.
    donc $E[2X] = 2.P(X=1) = 2E[X]$

    All
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    Cette démonstration est-elle bonne ?

    $E(\alpha X)=\sum_{i=0}^{n}{kP(\alpha X_{i}=k)}
    =\sum_{i=0}^{n}{kP(\alpha X_{i}=\alpha t)}
    =\sum_{i=0}^{n}{\alpha tP(X_{i}=t)}
    =\alpha E(x)$
  • gustave1
    gustave1
    On E(aX)= Sigma ak P(aX = ak)

    Comme (X=k) et (aX=ak) il vient
    E(aX)= Sigma ak P(X=k) = a Sigma k P(X=k) = a E(X)
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    Non, en fait ce n'est pas bon car les indices sont sur les k et pas sur les X :-( n'est-ce pas ?
    Merci pour l'exemple ... Je vais essayer de m'en inspirer.
    Vincent
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    Ah !
    Je croyais que
    E(aX)= Sigma k P(aX = k)
  • Richard André-Jeannin1
    Richard André-Jeannin1
    Il serait beaucoup plus difficile de montrer que E(X+Y)=E(X)+E(Y) (puisque nous parlons de linéarité)
  • Crou!0
    Crou!0
    Bonjour!

    Si tu veux démontrer que $E(\alpha X) = \alpha E(X)$ (pour $\alpha$ réel) en partant du membre de gauche, il faudrait dans un premier temps écrire la définition de $E(\alpha X) $.

    Pour t'aider, tu peux poser $Y= \alpha X$. La première question à se poser est : quelles valeurs la variable aléatoire $Y$ peut-elle prendre ?

    Ensuite, applique la définition de l'espérance pour une variable discrète pour calculer $E(Y)$.


    (Implicitement, dans ton exemple, $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\{ 0 , \dots, n\}$).

    J'sais pas si j'suis claire là ...

    Crou!
  • Crou!0
    Crou!0
    Bonjour!

    Si tu veux démontrer que $E(\alpha X) = \alpha E(X)$ (pour $\alpha$ réel) en partant du membre de gauche, il faudrait dans un premier temps écrire la définition de $E(\alpha X) $.

    Pour t'aider, tu peux poser $Y= \alpha X$. La première question à se poser est : quelles valeurs la variable aléatoire $Y$ peut-elle prendre ?

    Ensuite, applique la définition de l'espérance pour une variable discrète pour calculer $E(Y)$.


    (Implicitement, dans ton exemple, $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\{ 0 , \dots, n\}$).

    J'sais pas si j'suis claire là ...

    Crou!

    PS : mais que s'est-il passé avec le code LateX ??? Merci d'effacer le doublon...
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    Non
    je trouve la démonstration de $(X+Y)=E(X)+E(Y)$
    beaucoup plus simple dans le sens où je comprends
    ce qu'est $E(X+Y)$.
    Evidement si $ \alpha $ est entier positif c'est simple.
    Mais dans les autres cas je ne comprends
    pas l'écriture.
    $E(\alpha X)=\sum_{i=0}^{n}{k_i P(\alpha X=k_i)}$
    ou
    $E(\alpha X)=\sum_{i=0}^{n}{\alpha k_i P(\alpha X=\alpha k_i)}$ ?

    Vincent
  • Crou!0
    Crou!0
    Ben si $X$ est une v.a. qui peut prendre les valeurs entières de $0$ à $n$, $\alpha X$ est une v.a. qui peut prendre les valeurs : $0, \alpha, \dots, n\alpha$ (pas forcément entières).

    Par définition de l'espérance, $E (\alpha X)$ est la somme de toutes les valeurs que peut prendre la variable $\alpha X$ pondérée par leur probabilité (dit intuitivement), je veux dire :
    \[
    \begin{array}{lll}
    E(\alpha X)&= &0 P(\alpha X = 0) + \alpha P(\alpha X = \alpha) + \dots + (n\alpha )P(\alpha X = \alpha n)\\
    &=& \displaystyle\sum_{k=0}^n (k \alpha) P(\alpha X = \alpha k)\\
    &=&\displaystyle\alpha \sum_{k=0}^n k P(X = k)\\
    &=&\displaystyle\alpha E(X)\end{array}\]

    (l'avant-dernière égalité vaut si $\alpha$ est non nul, mais le cas $\alpha$ n'est pas palpitant).

    C'est mieux là ???


    Crou!
    PS : quelle rapidité, merci aux modos !
  • Superfly1
    Superfly1
    Vincent, ce problème que tu as eus c'est celui qui m'a toujours empeché de comprendre mon cours de Licence !
    Je n'avais jamais jusque là résolu cela

    Il me semble d'ailleurs que c'est exactement la même problème pour
    $\ E(g(X))$ Ai-je tort ?
  • Vincent Obaton0
    Vincent Obaton0
    Merci pour toutes vos réponse..
    J'ai enfin compris :-)
    Bonne journée
    Vincent
  • Saïd7
    Saïd7
    Bonjour,


    tous ces problemes citées ci-dessus se resolvent simplement si on connait la theorie de lebesgue(en licence)


    $$E(X)=\int _{\Omega}X(\omega)dP(\omega)$$

    $E(\alpha X+\beta Y) = \alpha E(X)+\beta E(Y)$ est seulement la linearité de l'integralle.
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