transformée de Hilbert

Sasha1
Sasha1
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Je cherche une définition de la transformée de Hilbert $\Lambda$ en dimension $n$ : sur quels genre d'espaces peut-on la définir, quelles interprétations peut-on lui donner (je crois que ca ressemble plus ou moins à une dérivée) etc...

Merci !

Réponses

  • steph1
    steph1
    Il me semble que la transformée de Hilbert ne se définie qu'en dimension 1.
    Elle peut être définie par différentes formules :
    $$\mathcal{H}f(x)=\frac{1}{\pi}\int\frac{f(y)}{x-y}dy=\frac{1}{\pi}\textrm{vp}\frac{1}{x}\ast
    f=\mathcal{F}^{-1}(-i\sgn(\xi)\hat{f}(\xi))$$


    C'est un opérateur pseudo différentiel d'ordre 0.
  • steph1
    steph1
    Il me semble que la transformée de Hilbert ne se définie qu'en dimension 1.
    Elle peut être définie par différentes formules :
    $$\mathcal{H}f(x)=\frac{1}{\pi}\int\frac{f(y)}{x-y}dy=\frac{1}{\pi}\textrm{vp}\frac{1}{x}\ast
    f=\mathcal{F}^{-1}(-i\textrm{sgn}(\xi)\hat{f}(\xi))$$


    C'est un opérateur pseudo différentiel d'ordre 0.
  • Sasha1
    Sasha1
    Merci !

    que signifie $\text{vp}$ ?
  • steph1
    steph1
    valeur principale
  • Sasha1
    Sasha1
    mais encore ? ^^
  • steph1
    steph1
    tu n'a jamais eu de cours sur les distributions ?
  • Sasha1
    Sasha1
    non :(<BR>
  • steph1
    steph1
    Oublie alors cette égalité
    Tu en as deux autres qui te définissent la transformée de Hilbert.

    Dans la pratique j'utilise plus la dernière (caractérisation par Fourier)
  • Sasha1
    Sasha1
    merci steph

    connais-tu une formule qui utilise la transformé de fourrier de $f$ ?
  • Gecko
    Gecko
    Bonjour Sasha
    je crois que dans le Rudin d'analyse fonctionelles tu trouveras quelques infos sur la transformation de Hilbert (mais ce sont des excercices)
  • steph1
    steph1
    Dans la dernière égalité que j'ai écrite, $\hat{f}$ désigne la transformée de Fourier et $\mathcal{F}^{-1}$ Fourier inverse.
  • Sasha1
    Sasha1
    excuse moi steph je n'avais pas fait attention

    merci gecko, mais la ou je suis je n'aurais jamais acces a ce livre !
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