[Agreg] indépendance d'évènements

Les vecteurs gaussiens me semblent être un cas très intéressant où la caractérisation de l'indépendance est facile. En même temps, je ne connais pas les exigences de l'agreg.

@+

Comme développement je verrais bien le calcul de l'indicatrice d'Euler.


(et les développements mieux vaut en prévoir 3)

lolo

Faut en proposer au moins 2. Il parait que 3 c'est mieux. Mais 2 peuvent suffir à avoir plus de 19/20...

Non, c'est le jury qui choisit (ça serait trop facile sinon !).

Je passe l'agreg cette année, et les préparateurs nous ont en effet dit qu'il fallait mieux arriver avec deux développements significatifs et intéressants qu'avec trois dont un était là pour faire le nombre et était en dessous du niveau des autres. Après, avoir trois développements qui se tiennent pour chaque leçon, ça m'a l'air peu possible.
Personnellement, je pense que je ferai aussi une petite partie sur l'existence de suites de variables aléatoires indépendantes, et je proposerai une preuve de ce fait à l'aide des développements dyadiques.
Sinon, on peut aussi parler de Galton Watson (et cela peut faire un développement).

re

excusez-moi de revenir sur cette histoire de developpements...

...mais ca me parait difficile d'avoir 3 developpements pour chacune des lecons (ca ferait environ 200 developpements consistants que l'on serait cense connaitre et avoir en tete!!!)

non?

est ce pareil a l'interne?

ps : tu n'es pas censé les avoir en tête, les 3 heures de préparations sont aussi là pour cela !

lolo qui ne doit pas être le seul à avoir présenté 3 développements...à une époque ou le plan était à mettre au tableau contrairement à aujourd'hui!

Séverine :

Le théorème de coalition s'énonce ainsi. Soit $(\Omega,F,P)$ un espace de probabilité. Soient $(F_i)_{i \in I}$ une famille de sous-tribus indépendantes. Soit $(I_a)_{a\in A}$ une partition de $I$. Pour tout $a\in A$, on note $G_a$ la tribu engendrée par la réunion des $F_i$ pour $i$ dans $I_a$. Alors, les $G_a$ sont indépendantes.

En pratique, c'est le théorème qui te dit que, par exemple, si $A,B,C,D$ sont des v.a. indépendantes, alors $A+B$ et $C\cos(D)$ sont indépendantes.

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L'un des théorèmes d'existence de v.a. indépendantes (sans doute celui auquel faisait allusion Ben) énonce que, si $\mu$ est une loi de probabilité sur $\R$, alors il existe une suite de v.a.i.i.d. de loi $\mu$.

(l'existence d'une telle suite est loin d'être triviale ; il est à mon avis indispensable d'avoir au moins réfléchi à ce théorème avant de passer l'agreg ; en tout cas si j'étais membre du jury et qu'un candidat disait "soit $X_i$ une suite de v.a.i.i.d. de loi machin, je lui demanderai s'il est sur qu'un tel truc existe... ; je ne suis pas membre d'un jury d'agreg).

Plus généralement il est je pense souhaitable d'avoir réfléchi à ces question (importantes) d'existence.

Par exemple, saurais-tu justifier l'existence des objets suivants : soit $X_i$ une suite de v.a.i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $1$, $Y_i$ une suite indépendante de v.a.i.i.d. de loi gausienne centrée réduite et enfin soit $A$ une variable aléatoire indépendante de ce qui précède et de loi machin chose.

Sinon (même si c'est pas indispensable pour cette leçon) il est pas idiot de réfléchir au théorème d'existence de Kolmogorov (pour d'autres leçons de proba c'est peut-être indispensable, je ne sais plus).

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il manque pas une hypothese dans le theoreme

Probaloser dixit :
<< L'un des théorèmes d'existence de v.a. indépendantes (sans doute celui auquel faisait allusion Ben) énonce que, si $\mu$ est une loi de probabilité sur $\R$, alors il existe une suite de v.a.i.i.d. de loi $\mu$. (l'existence d'une telle suite est loin d'être triviale [...]) >>

Tiens, justement, comment établit-on ce théorème ?

Si on décrypte le résultat donné par Borel Cantelli, on a, presque sûrement :

Il existe un entier (naturel) $n$ tel que, pour tout entier $k\ge n$, on a $X_k=Y_k$.

Cela te suffit-il ou était-ce après que tu avais un soucis ?

Si tu poses cette question c'est sans doute que tu n'as pas de preuve en tête...

Plus généralement, si, dans une de tes preuves, tu n'est pas capable de détailler davantage le passage entre deux lignes, cela signifie que tu n'as en fait pas de preuve complète en tête. Une preuve rédigée est, toujours, la version abrégée d'une preuve complètement formalisée (et donc extrêmement longue).

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Voici une preuve. Pour tout $k\ge n$, on a :
$$
\frac1k \sum_{i=1}^k (X_i-Y_i)=\frac1k \sum_{i=1}^n (X_i-Y_i).
$$
On en déduit le résultat (plus de détails sur demande, mais tu remarqueras que notre expression est une constante (par rapport à $k$) divisée par $k$, et que l'on cherche la limite quand $k$ tend vers l'infini).

Salut!

Moi je te conseille le théorème de Cramer (Zuily Queffélec p 500).
Elégant, recasable (fonctions holomorphes, intégrales à paramètres, transformée de Fourier, variables gaussiennes...).
Je l'avais traité dans cette leçon en préparation l'année dernière.

Quand à roger:

"Officiellement deux suffisent mais le jury est souvent enervé de voir un candidat arriver avec deux développements dont un qui est passe partout."

Faux!!! C'est mon cas sur les séries (avec le fameux "sinus itéré" et le théorème de Riemann sur les séries semi-convergentes, donc 2 développement dont le premier ultra classique du Gourdon) et j'ai eu 19.