Question sur les compacts

Jérémy10
Jérémy10
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Je m'appelle Jérémy et je suis étudiant en deuxième année de licence de mathématique.

Voilà, dans mon cours on définit un ensemble compact comme un ensemble constitué d'un recouvrement fini d'ouverts. Mais en même temps, j'apprend qu'un ensemble compact est fermé dans Rn.
Ce que je ne comprends pas, c'est qu'un compact est un ensemble fermé, et donc ça me semble plus logique de le définir comme un recouvrement fini de fermé. J'ai l'impression que le recouvrement avec des fermés sera plus "proche" de l'ensemble compact, qu'avec des ouverts.

Quelqu'un pourrait il m'éclairer?
Merci d'avance.

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    <<
    on définit un ensemble compact comme un ensemble constitué d'un recouvrement fini d'ouverts
    >>

    Ce n'est pas du tout ça la définition. C'est vraiment ce que tu as dans ton cours ?
  • grandwazoo
    grandwazoo
    Attention, un compact n'est pas un ensemble constitué d'un recouvrement fini d'ouverts... La définition précise est : si on se donne un recouvrement ouvert, on peut en extraire un sous-recouvrement fini (autrement dit, seul un nombre fini d'ouverts du départ suffisent).
    Ca doit marcher pour tous les recouvrements par des ouverts imaginables, et pas seulement pour un particulier comme tu sembles le sous-entendre.

    On voit qu'on ne peut pas utiliser des fermés : prends $K=[0,1]$ qui est compact; $K$ est recouvert par les fermés $F_n$ définis par :
    $F_0=\{0\}, F_n=[1/n,1]$ mais certainement pas par un nombre fini d'entre eux.


    Olivier
  • Domi4
    Domi4
    La définition serait plutôt que de tout recouvrement d'ouverts , on peut extraire un sous-recouvrement fini .

    Domi
  • jérémy2
    jérémy2
    D'accord, merci beaucoup pour les explications et vous aviez raison, c'est bien de tout recouvrement d'ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Pour te rassurer en pratique on utilise rarement cette définition pour montrer qu'un ensemble est compact, meme si dans certains exercices cela est tres pratique...
  • romainm1
    romainm1
    Mais pour montrer qu'un ensemble *n'est pas* compact, ça peut être très pratique car il suffit de trouver un recouvrement ouvert qui va bien marcher.
    Par exemple pour $\R$, un recouvrement ouvert est $(]-n,n[)_{n\in\N}$ : on ne peut pas en extraire un sous-recouvrement fini.
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