Orthogonal

Micke1 · March 2006

Bonjour à tous,

Soit $H =C([0,1]) $muni du prod scalaire $=\int_0^1f(t)\overline{g(t)}dt$
Soit F le sous-espace vectoriel de Ho formé des fonctions qui s'annule sur [0,1/2]

(1)Mtq que F est fermé dans ho pour la norme associé au produit scalaire.
(2) Calculer l'orthogonal de F dans Ho
(3) A-t-on $H0=F \oplus F^\perp$

Alors voilà la (1) ne m'a pas posé de probleme...
Par contre la (2) je ne sais pas si j'ai le droit de le faire
Voilà ce que j'ai fait :
Soit $g \in F, g(x)=0 \forall x \in [0,1/2]$
$= \int_{1/2}^1f(t)\overline{g(t)}dt$
Pour $g=f$ on a :
$\int_{1/2}^1f(t)^2dt$
Donc $=0 \Rightarrow f(t)=0 \forall t \in [1/2,1]$

En fait intuitivement je pense que c'est ca $F^\perp$ mais je n'arrive pas à le démontrer clairement et proprement... (en effet normalement je peux pas prendre g=f...)

(3) Si ce que j'ai fait en 2 est juste enfin la réponse, alors c'est bon ca ne me pose pas de problème ! sinon ce sera à revoir !

jérémy2 · March 2006

Tu n'as bien sûr pas le droit de faire ce raisonnement mais ton intuition est la bonne. Ici, tu as utilisé une seule fonction $f$ et tu as de plus supposé que $g = f$ : le raisonnement est insuffisant mais c'est une bonne piste.

L'idée c'est que si $g$ est dans l'orthogonal de $H_0$ alors pour toute fonction $f \in H_0$, $\int_{1 \over 2}^1 f(t)\bar{g}(t)dt = 0$. Si $g({1 \over 2}) = 0$ alors il existe $f \in H_0$ telle que $f_{|[{1 \over 2}, 1]} = g_{|[{1 \over 2}, 1]}$, et tu appliques ton raisonnement avec cette fonction $f$, d'où $g = 0$ sur $[{1 \over 2}, 1]$. Si $g({1 \over 2}) \neq 0$ alors en utilisant la continuité de $g$ en ${1 \over 2}$ et en choisissant bien une fonction $f \in H_0$, tu devrais aboutir à une contradiction, et en déduire que l'orthogonal de $H_0$ était bien ce que tu avais intuité...

jérémy2 · March 2006

Tu n'as bien sûr pas le droit de faire ce raisonnement mais ton intuition est la bonne. Ici, tu as utilisé une seule fonction $f$ et tu as de plus supposé que $g = f$ : le raisonnement est insuffisant mais c'est une bonne piste.

L'idée c'est que si $g$ est dans l'orthogonal de $H_0$ alors pour toute fonction $f \in H_0$, $\int_{1 \over 2}^1 f(t)\bar{g}(t)dt = 0$. Si $g({1 \over 2}) = 0$ alors il existe $f \in H_0$ telle que $f_{|[{1 \over 2}, 1]} = g_{|[{1 \over 2}, 1]}$, et tu appliques ton raisonnement avec cette fonction $f$, d'où $g = 0$ sur $[{1 \over 2}, 1]$. Si $g({1 \over 2}) \neq 0$ alors en utilisant la continuité de $g$ en ${1 \over 2}$ et en choisissant bien une fonction $f \in H_0$, tu devrais aboutir à une contradiction, et en déduire que l'orthogonal de $H_0$ était bien ce que tu avais intuité...

Alain Debreil · March 2006

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