utilité du radian ?

nina20
nina20
dans Les-mathématiques
Bonjour,
Pouvez vous me dire à quoi sert d'introduire le radian, quand on a déjà les degrés ? (uniquement aux fonctions sinus et cosinus ???)
Y a-t-il des applications hors des maths ???
Merci

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    La question serait plutôt de savoir à quoi servent les degrés, sachant que les radians sont tout à fait adaptés en math.
  • corentin0
    corentin0
    La vraie raison de l'utilisation du radian c'est que ça a une signification physique, contrairement au degré. L'arc de cercle de rayon $r$ d'angle $\alpha$ a pour longueur $\alpha r$.
  • GERARD5
    GERARD5
    En fait, tant qu'on fait des calculs simples sur les angles (type trigonométrie du triangle), les degrés conviennent bien. Par contre, si l'on veut faire du calcul scientifique (avec dérivées, intégrales, séries, lien entre sinus et exponentielles, etc.), il est nécessaire de passer en radians pour des raisons de simplicité :
    [sin(x)]' = cos(x) (x est en radians)
    $ [sin(x°)]' = \frac{\pi}{180} cos(x°) $

    Cordialement
  • muaddob
    muaddob
    J'aurais plutôt introduit ça sous la forme de système d'unité cohérent, avec une définition de la mesure d'angle telle que angle*rayon=corde

    Et donc dans le Système international ça définit le radian.

    Mais ce n'est que mon point de vue de physicien
  • GERARD5
    GERARD5
    En fait, physiquement, le degré est aussi "cohérent" que le radian. Je préfère alors le millième des topographes (Angle sous lequel on voit 1m à 1000 m).
    Au fait, as-tu remarqué que le radian est une "unité" sans unité ? En fait, l'angle ne donne pas vraiment une mesure (si on ajoute des angles géométriques, on aboutit à un angle "plus petit").

    Cordialement
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Effectivement, ce qui est naturel est l'unité de radian, et pas les degrés.
  • muaddob
    muaddob
    je dirais une unité sans dimension, mais une unité néamoins

    et c'est bien une unité du SI (pas une des 7 de bases, mais une quand même).

    "Certaines grandeurs sont définies par le rapport de deux grandeurs de même
    nature ; elles ont une dimension qui peut être exprimée par le nombre un. L’unité
    associée à de telles grandeurs est nécessairement une unité dérivée cohérente avec
    les autres unités du SI, et comme elle résulte du rapport de deux unités SI identiques,
    cette unité peut aussi être exprimée par le nombre un.
    ...
    Dans certains cas, cependant, cette unité se voit attribuer un nom spécial,
    en vue principalement d’éviter la confusion avec certaines unités dérivées composées.
    C’est le cas du radian, du stéradian et du neper."

    in <http://www.bipm.fr/utils/fr/pdf/brochure-si.pdf&gt;


    je crois que c'est clair...
  • ours
    ours
    quel relation de recurrence y a t'il entre le gradiant et le degré?
  • ,*,
    ,*,
    Gérard, peux-tu preciser ta dernière remarque stp.

    Qu'entends-tu par unité sans unité?
    Unité sans grandeur?

    N'est-ce pas le cas de toutes les unités de mesure d'angles?

    merci.
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour



    La notion de mesure des angles est un terme mal choisi.

    Les grandeurs mesurables des physiciens sont des espaces vectoriels réels de dimension 1:on peut donc définir le rappoprt de deux grandeurs.
    Choisir une unité revient à prendre un vecteur de base.

    les angles orientés on seulement une structure de groupe abélien le rapport de deux angles n'est donc pas défini.

    les angles non orientés n'ont pas de structure algébrique



    Cordialement
  • GERARD5
    GERARD5
    Merci Liautard d'avoir éclairci ma remarque.

    Ma formulation (unité sans unité) est fautive, mais a un sens pour un physicien qu a l'habitude de parler de grandeur sans unité.

    Pour Toto le zéro ("ce qui est naturel est l'unité de radian") : Je ne sais pas ce que tu appelles "naturel". Le radian est assez artificiel , car on a utilisé les degrés plusieurs millénaires avant de passer "naturellement" au radian.

    Cordialement
  • muaddob
    muaddob
    l'angle est une grandeur adimensionnelle.
    Elle doit être définie comme le ratio de deux grandeurs de même dimension.

    Je ne vois pas d'autre définition que le ratio de la corde par le rayon.
    Dans ce cas quelque soit le système d'unité choisi, on tombe sur le radian, JAMAIS le degré.
    On peut choisir parmi les 7 grandeurs à dimension simple l'echelle qu'on veut, mais il s'ensuit un système d'unité cohérent (en pratique il y en a peu de complètement cohérent, seulement des parties cohérentes).

    dans tous les cas, l'angle est en radian. c'est beau non ?
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    GERARD a dit:

    "Pour Toto le zéro ("ce qui est naturel est l'unité de radian") : Je ne sais pas ce que tu appelles "naturel". Le radian est assez artificiel , car on a utilisé les degrés plusieurs millénaires avant de passer "naturellement" au radian."

    Je dis que le radian est naturel au sens où quand on construit les fonctions cosinus et sinus, il apparait de lui même.
  • GERARD5
    GERARD5
    En réponse à Muaddob et Toto le zéro :
    Méfiez vous de vos habitudes. Tous les deux, vous appelez naturel ce que vous connaissez. Or la notion d'angle (pas du tout naturelle, essayez de l'enseigner à des collégiens, vous verrez) est une notion très construite, très sociale. Le degré a été une unité d'angle très naturelle pour tout le monde pendant 2 millénaires. Et le radian n'est ni évident (quotient ? Dans ce cas, l'angle droit est bien plus naturel, il n'y a même pas besoin de quotient, ou bien le tour), ni n'apparaît de lui même (sa construction à partir de la définition de sin et cos par les séries est même particulièrement artificielle).

    Cordialement
  • muaddob
    muaddob
    je n'ai pas dit "naturelle" (ou alors j'ai pas fait exprès ;-) )

    je suis d'accord avec toi, l'intuition est du coté du tour (voire du 360ème de tour), mais je n'avançais pas un argument d'intuition, mais constructiviste (tout comme le Kelvin par rapport au Celsius).
  • GERARD5
    GERARD5
    Effefctivement, Muaddob, tu n'as pas dit "Naturel". Mon propos était un peu globalisant. Par contre, ton idée est bien l'une de celles qui ont amené à la définition du radian.
    Cordialement
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Certes, j'en conviens GERARD.
  • chris26
    chris26
    A llautard : on peut quand même dire qu'un angle géométrique est double ou triple d'un autre avec un peu de précautions. Avec ta critique, on devrait aussi remettre en question les mesures de températures par exemple.
  • Eric Lafosse1
    Eric Lafosse1
    Oui, alors le millième, je veux bien, mais il faudrait préciser la position de l'observateur du mètre !
  • chris26
    chris26
    En face!
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    JE vois pas en quoi diviser un cercle en 360 part a quelque chose de naturel.
  • guiguiche
    guiguiche
    "JE vois pas en quoi diviser un cercle en 360 part a quelque chose de naturel."

    J'ai envie de répondre: pour la même raison que les heures ont 60 minutes et les minutes ont 60 secondes. Tous ces nombres ont de nombreux diviseurs, ce qui, dans un passé lointain, devait simplifier les possibilités de partage.

    Dites moi si je raconte des bétises.
  • nuage
    nuage
    Salut,
    "JE vois pas en quoi diviser un cercle en 360 part a quelque chose de naturel."
    Il y a à peu près 360 jour dans une année. Et donc le soleil se déplace d'à peu près un degré par jour. Le degré est donc "naturel", pas au sens mathématique, mais au sens astronomique (ancien).
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    N'importe quoi. J'en ai entendu des explications à la con mais celle là elle fait fort.
  • AlexB0
    AlexB0
    Les explications données par guiguiche et nuage font parties des hypothèses usuelles pour justifier la base 60 ou le découpage du cercle en 360 degrés. Cf par exemple "Histoire universelle des chiffres" de Georges Ifrah où l'on trouve également d'autres hypothèse qui me paraissent moins rationnelles.

    Alex.
  • nuage
    nuage
    Salut,
    Si vous avez de la chance vous trouverez "l'histoire des numérations écrites" de Geneviève Guitel.
    Pour Toto.le.zéro un conseil : étudie l'histoire, et fait comme l'ouvrier réffleur, qui travaille même quand il va aux toilettes.
  • Prof_
    Prof_
    Cette discussion doit être assez proche du débat qui a mené à cette loi:
    En 1897, l'Assemblee Generale de l'Indiana edicta un projet de loi portant la valeur de "pi" de 3,14 a 4. Ceci eut pour effet que tous les calculs mathamatiques de l'Indiana devinrent faux et que, par exemple, une pendule prenait 15 minutes de retard par heure.

    J'aurais aimé connaitre les motivations d'une telle loi...
  • BLAGUS
    BLAGUS
    Connaissez vous le radian complexe d'un cercle ?
    C'est le rayon GAMMA
    Pourquoi ?
    Parce qu'il est "i radiant"

    Toutes ces discussions me font penser que certains mathématiciens reéduisent le monde à leurs postulats et croient encore qu'une démonstration peut prouver une vérité....dommage l'obscurentisme s'étend.
  • kabala
    kabala
    est-ce qu'on peut dire que l'unité du radian c'est le centimètre puisqu'il mesure une longueur (de l'arc de cercle trigo)? (je pense que non sinon ça se saurait mais pourquoi non?)
  • Yama1
    Yama1
    Pour kabala, si on prend une définition géométrique du radian, on effectue un rapport de deux longueurs. Des centimètres divisés par des centimètres, cela ne fait pas des centimètres!
  • kabala
    kabala
    Ok merci, en fait je croyais que en radians l'angle c'était la longueur de l'arc de cercle correspondant dans le cercle trigo.
  • Eric Lafosse2
    Eric Lafosse2
    Ben oui,kabala, tu as un peu raison, mais le problème c'est le choix de l'unité, pourquoi spécifiquement le centimètre et pas le millimètre ou le décimètre?
  • dimanchematin0
    dimanchematin0
    Pour Prof.

    En ce qui concerne les motivations des élus de l'Indiana à adopter la valeur 4 pour Pi.

    Dunham (The Mathematical Universe) raconte l'histoire en remarquant que le "découvreur" de cette nouvelle valeur s'était engagé à laisser l'Indiana l'utiliser sans lui verser les droits d'auteur auxquels il prétendait.
    Dunham suppose donc que l'un des ressorts de cette étrange aventure législative aurait pu être la perspective que soient versées à l'Indiana les redevances nationales et internationales dues au Dr Goodwin.

    (Dunham se réfère à un article de David Singmaster, The Legal Values of Pi, in The Mathematical Intelligencer, 1985, n°2. Mais je ne l'ai pas lu celui-là)
  • Prof_
    Prof_
    Fallait bien qu'il y ait une histoire de sous là dessous... merci de la précision, je ne la connaissais pas
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