Algèbre bilinéaire et Cauchy-Schwarz

cybermusician
cybermusician
dans Les-mathématiques
Bonjour,

j'ai le problème suivant:

On considère l'espace vectoriel réel de matrices carrés d'ordre n muni du produit scalaire $\phi$ :

pour A, B dans Mn(R) $\phi(A,B)$ = tr(transposé(A)*B).

On note ||.|| la norme associée.

Pour tous A,B dans Mn(R), on a l'inégalité ||AB||=< ||A|| ||B||.

Je dois soit démontrer cette proposition, soit trouver un contre exemple.

J'ai essayé d'appliquer cauchy-schwarz, mais y'a des trucs qui collent pas et je ne vois pas trop comment faire. J'ai démontrer dans le cas de matrices orthogonales mais pas plus.

Merci de vos suggestions eventuelles

Réponses

  • Richard André-Jeannin2
    Richard André-Jeannin2
    Il faut partir de:
    ||AB||²=(somme sur i,j)c(i,j)², avec c(i,j) le terme général de AB.
    Ensuite on exprime c(i,j) en fonction de a(i,j) et de b(i,j) et on applique C-S à c(i,j).
  • wol
    wol
    Bonjour,

    Cette proposition me semble fausse en prenant par exemple $A=B=I_2$ .
  • wol
    wol
    En fait je me suis trompé, je voulais prendre $A=E_{1,2}$ et $B=E_{2,1}$
  • mmm
    mmm
    Ben c'est le norme de Frobenius, je crois... Il faut calculer, malheureusement des fois il n'y a pas le choix...
  • jérémy2
    jérémy2
    En fait je crois c'est exactement le produit scalaire usuel sur $\R^{n^2}$ : $(A|B) = \sum_{1\leq i \leq j \leq n^2} a_ib_j $ où leq $a_i$ et $b_j$ indexent les coefficients des matrices "dans le bon ordre".
  • cybermusician
    cybermusician
    Bonjour,

    je trouve l'égalité en prenant $A=E_{1,2}$ et $B=E_{2,1}$ , en effet dans ce cas ||AB||=1 et ||A||*||B||=1 , la proposition m'a l'air vrai.
    Merci de votre tentative, si vous trouvez un contre - exemple je suis preneur.
  • cybermusician
    cybermusician
    Bonjour,

    ||AB||^2 = trace(transposé(AB)*AB), le produit scalaire défini ici ne nous donne pas ||AB||^2 = sum c(i,j)^2
    En tout cas si c'est vrai, il faut le montrer, on ne peut pas dire ça comme ça, je sais que si c'est vrai le problème est plus simple, et on y arrive, mais je ne pense pas que ce soit si simple.
    Merci pour votre aide.
  • cybermusician
    cybermusician
    Effectivement, je viens de faire le calcul recommandé par Richard André-Jeannin, et la méthode me semble efficace, merci beaucoup.
    Cependant le calcul de trace(transposé(AB)*(AB)) est vraiment laborieux, j'ai trois sommes imbriquées avec différents indices, donc si quelqu'un a un résultat plus synthétique de ce calcul, je suis intéressé.
    Encore Merci.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    En fait je crois c'est exactement le produit scalaire usuel sur $\R^{n^2} : (A|B) = \sum\limits_{1\leq i \leq j \leq n^2} a_ib_j $
    où les $a_i$ et $b_j$ indexent les coefficients des matrices "dans le bon ordre".
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