connexite

Domi0
Domi0
dans Les-mathématiques
Bonjour,

J'ai des questions sur un exercice de connexite au niveau comprehension de l'enonce.

On me demande de demontrer que l'ensemble suivant est connexe

A = { (x, sin(1/x)), x>0} "union" {0} x [-1,1]

Je ne comprends pas { (x, sin(1/x)), x>0}: est-ce les couples (x,sin1/x) avec x >0 ( c'est ce que je pense)? L'union avec {0}: faut-il comprendre couple {0,0}? et dans ce cas, A est une partie de R².

Merci pour votre aide

A+

Réponses

  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Première question : oui.
    Deuxième question : non. L'union représente un segment du plan situé sur l'axe des ordonnées.
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    En fait A est l'adhérence du graphe de sin(1/x) pour x>0

    {0} x [-1;1] = { (0,y) | -1<=y<=1 }
  • romainm1
    romainm1
    Peut-être est-ce plus clair avec des parenthèses :
    $A = \{ (x, sin(1/x)), x>0 \} \bigcup ( \{ 0 \} x [-1,1] )$.
  • gringo0
    gringo0
    $\ A \subset \R^{2} * \R$
  • Domi0
    Domi0
    Bonjour,

    Merci pour vos réponses: je me suis bien compliqué la vie....

    a+
  • gringo0
    gringo0
    comment montrer la connexité de ton ensemble est ce que tu peux me donner une idée?
  • Sylvain
    Sylvain
    L'adhérence d'un connexe est connexe, je pense.
  • Ahmad2
    Ahmad2
    Bonjour .

    Montrer que cette partie est connexe par arc et le prob sera resolue .

    ind '' cherche' une application de [0.1] dans R2 continue et verifie la condi
    de connexite' par arc "


    bye
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Justement A n'est pas connexe par arc. Les ensemble {(x,sin(1/x) |x>0 } et {0}x[-1;1] sont disjoints, donc A est réunion disjointe de deux ensemble, donc ne peut pas etre connexe par arc.

    Par contre il est connexe comme adérence d'un connexe.
  • Probaloser
    Probaloser
    >

    Je n'ai lu que ça du fil, mais c'est n'imp. Exemple : $[0,2]$ est la réunion disjointe de $[0,1]$ et $]1,2]$...
  • jérémy2
    jérémy2
    Cela dit il est vrai que A n'est pas connexe par arcs. L'idée est qu'on ne peut pas parémétrer un chemin (continu sur un segment) de l'une des parties vers l'autre en restant dans A. Par exemple, de (1,sin1) vers (0,0) en ne passant que par des points de la forme (x,sin(1/x)) puisque sinon on pourrait prolonger sin(1/x) par continuité en 0 (c'est l'idée et non une preuve rigoureuse !)
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    "" Je n'ai lu que ça du fil, mais c'est n'imp. Exemple : est la réunion disjointe de et ... ""

    Oui bien vu

    Sinon pour l'idée de la demo (que A n'est pas connexe par arc), nous pouvons démontrer que tous les chemins situés sur le graphe de sin(1/x) sont de la forme (f(t), sin (1/f(t))

    Ainsi si on suppose l'existance d'un chemin fermé C reliant (0,0) et (1,sin1) paramétré sur [0,1] (pour simplifier les choses), il existera une fonction f continue définie sur ]0,1] telle pour tout t dans ]0,1], C(t)=(f(t),sin(1/f(t)). Par continuité de C sur [0,1], limC(t)=(0,0) quand t tend vers 0. Ainsi, f(t) tend vers 0 quand t tend vers 0, mais alors sin(1/f(t)) ne peut pas tendre vers 0 quand t tend vers 0. Ainsi nous obtenons une contradiction.

    Je ne sais pas si j'ai bon :)
  • Gordan_
    Gordan_
    Estcce qu'on a l'équivalence suivante :
    A et B connexes équivaut à A*B connexe (produit cartesien)
    Et merci d'avance !!
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Je pense que oui, mais pas sur

    je propose une dem par l'absurde, corrigez moi si c faux :-)

    Tu suppose qu'il existe une application continue AxB---> $\N$ surjective.

    il existe (x1,y1) tel que f(x1,y1)=0
    il existe (x2,y2) tel que f(x2,y2)=1

    L'application y---->f(x1,y) est constante

    donc f(x1,y2)=0

    maintenant on a que l'application x--->f(x,y2) est constante

    donc f(x2,y2)=0

    Et ceci est absurde.
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Je pense que oui, mais pas sur

    je propose une dem par l'absurde, corrigez moi si c faux :-)

    Tu suppose qu'il existe une application f continue AxB---> {0,1} surjective.

    il existe (x1,y1) tel que f(x1,y1)=0
    il existe (x2,y2) tel que f(x2,y2)=1

    L'application y---->f(x1,y) est constante

    donc f(x1,y2)=0

    maintenant on a que l'application x--->f(x,y2) est constante

    donc f(x2,y2)=0

    Et ceci est absurde.
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    arf désolé pour le doublon, le forum qui me fait des misères
  • Probaloser
    Probaloser
    Gordan : c'est faux si $A$ ou $B$ est vide (OK c'est ballot comme cas mais bon...). Sinon c'est vrai.

    Implication directe. Soit $\phi:A\times B \to \{0,1\}$ une application continue. Soient $x$ dans $A$ et $y$ dans $B$ (c'est là qu'on utilise qu'ils sont no vides). Alors pour tout $(a,b)$ dans $A\times B$, $\phi(a,b)=\phi(x,b)$ (pourquoi ?) et $\phi(x,b)=\phi(x,y)$ (pourquoi ?). Ainsi $\phi(a,b)=\phi(x,y)$, l'application est constante. Par conséquent on a la connexité.

    Dans l'autre sens utilise le fait que l'image d'un connexe par une application continue est connexe.

    (sans relecture)
  • Domi0
    Domi0
    Bonjour,

    Merci pour toutes vos réponses.

    J'ai des questions toutes betes à poser

    Soit B = { (x, sin(1/x)), x>0}.

    Peut-on écrire que B = ] 0, +oo[x[-1,1]?

    Et dans ce cas adherence (B) = [0,+00[x[-1,1] ?

    Si cela est vrai, on a B inclus dans A qui est inclus dans l'adherence de B.

    Or les connexes de R sont les intervalles => ]0, +oo[ et [-1,1] sont connexes => leur produit aussi = B

    => A connexe.


    Est-ce stupide? faux?

    N'hésitez pas à me contredire

    Merci pour votre aide prochaine

    A+
  • Probaloser
    Probaloser
    <<
    Soit B = { (x, sin(1/x)), x>0}.

    Peut-on écrire que B = ] 0, +oo[x[-1,1]?
    >>

    Non.

    (ca se ressemble pas trop quand même ! fais un dessin !)
  • Pitchou1
    Pitchou1
    l'ensemble ]0,$infty$[x[-1,1] et ton ensemble B sont tres differents:
    le premier est une bandequi contient tous les couples(x,y) tels que x soit dans [-1,1], le second est le graphe de la fonction sin(1/x) sur $$\R$^+*$
  • Domi0
    Domi0
    Bonjour,

    J'ai des gros pb de compréhension. Pouvez-vous me renseigner un peu plus, svp

    1) Comment prouver que B est connexe? que vaut l'adhérence de B?


    2) Si C= { (a, sin(b)), a>0, b reel}. ( a et b indépendant) Peut-on dire que
    C= ] 0, +oo[x[-1,1]?

    Merci par avance pour vos réponses.
  • Pitchou1
    Pitchou1
    B est connexe par arcs , c'est la courbe de la fonction sin(1/x)
    et l'adherence de B est B U [0,1]
    si a et b sont independants la reponse à ta ta question doit etre oui...
  • Probaloser
    Probaloser
    1) $B$ est connexe comme image d'un connexe par une application continue. Pour l'adhérence, commence par faire un dessin.

    2) Que veux dire > ??
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    L'ensemble $]0 ,\infty[ \ \times\ [-1,1]$ et ton ensemble $B$ sont très différents :
    Le premier est une bande qui contient tous les couples $(x,y)$ tels que $x \in [-1,1]$, le second est le graphe de la fonction $\sin(\frac{1}{x})$ sur $\R_+^*$
  • Domi0
    Domi0
    Bonjour,
    Merci .

    A l'attention de Pitchou: je ne comprends ton adhérence. J'aurais plutot dit
    B "union" {0}x[-1,1]. Mais comment le prouver ?

    Doit-on dire l appartient à l'adhérence de B si l est limite d'une suite de B. En prenant x= 1/n . Quand n -> oo, x-> 0 et sin(1/x) n'a pas de limite mais prend toute valeur entre [-1,1]. Pour moi ce n'est pas correct ou suffisant...

    Pouvez-vous m'aider, svp?
    A+
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français