Boule/Spère

Jeanne11
Jeanne11
dans Les-mathématiques
Salut!

quelle est la difféence entre la boule $B^n$ et la sphère $S^{n-1}$? J'arrive pas à visualiser...

merci!

Réponses

  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Pour n=2, pourrais-tu nous décrire l'objet que tu visualises ?

    B^2 est le disque unité, donc tous les points à l'intérieur du cercle; alors que S^1 est le cercle seul.
  • muaddob
    muaddob
    bonjour,

    Celle qui a entre une boule de pétanque, et un cerceau .... $B^3$ et $S^2$

    ou bien j'ai pas bien compris la question ?

    Cordialement
  • archimède0
    archimède0
    $\R^n$ étant muni de la norme euclidienne, on a
    $B^n=\{x\in\R^n \mid ||x||
  • Jeanne11
    Jeanne11
    ok,... et si on dit $B^n$ et $S^n$, quelle est la différence?
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Tu plaisantes ?

    Quel est le rapport excepté que ces espaces ont même dimension ?
    Ils ne sont même pas homéomorphes ! Il faut enlever un point à S^n pour cela.
  • muaddob
    muaddob
    j'ai toujours cru que $S^2$ était le cercle ... désolé
  • archimède0
    archimède0
    On écrit $B^n$ car la boule unité de $\R^n$ est une variété de dimension $n$.
    On écrit $S^{n-1}$ car la sphère unité de $\R^n$ est une variété de dimension $n-1$.
    Ainsi le cercle $S^1$ est une courbe, donc est bien de dimension 1.
  • racinedecheveux
    racinedecheveux
    Bonjour!
    Est-ce que le cercle est une droite infinie?
    Dans quelle geometrie?

    amicalement :)
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Non.
  • Sébatiduroc0
    Sébatiduroc0
    Euh, je me trompe ou $S^n$ est, topologiquement parlant, la frontière de $B^n$ ?
  • Probaloser
    Probaloser
    Dans $\R^n$, $S^{n-1}$ est la frontière de $B^n$.
  • Sébatiduroc0
    Sébatiduroc0
    Dans $\R^3$, je concevais $S^3$ comme la sphère enveloppe de la boule de l'espace. C'est donc un problème de définition de ma part et cette enveloppe est notée $S^2$, c'est ça ?
  • Probaloser
    Probaloser
    Oui, car elle est $2$-dimensionnelle. Cela prend son sens quand on pense à $S^2$ de manière intrinsèque. On n'a dans ce cas plus aucune raison de lui accoler un $3$...

    Autre manière de dire la même chose. On peut mettre $S^2$ dans $\R^4$ ou $\R^6$ si ça nous chante... le seul truc qui ne change pas c'est qu'elle est de dimension $2$.
  • Sébatiduroc0
    Sébatiduroc0
    Mais alors, $S^3$ dans $\R^3$, c'est quoi ?
  • Roux, cest toi ?
    Roux, cest toi ?
    C'est rien. On ne peut pas voir S³ dans R³.
  • Sébatiduroc0
    Sébatiduroc0
    Même avec de bonnes lunettes ?

    PS : Damned, je suis démasqué !
  • archimède0
    archimède0
    Il n'existe pas d'immersion de $S^n$ dans $R^n$, c-à-d d'application $f:S^n\longrightarrow R^n$ injective et de rang $n$ en tout point.

    Preuve. Supposons qu'il existe une telle immersion $f$. Vu le rang de $f$, $f(S^n)$ est un ouvert de $\R^n$. Mais $S^n$ est compact donc $f(S^n)$ est compact donc fermé dans $\R^n$. Ainsi $f(S^n)$ est à la fois ouvert et fermé dans $\R^n$. Comme il est non vide, et comme $\R^n$ est connexe, on a donc $f(S^n)=\R^n$. Cette dernière relation est en contradiction avec la compacité de $f(S^n)$ !
    $\square$
  • archimède0
    archimède0
    Rectification : dans mon message précédent, il faut enlever "injective" dans ma première ligne !
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