factiorielles et puissances

Bonjour à tous !
voici une équation qui me pose problème :

Résoudre dans $\N$ :


$(1): \frac{365!}{365^{n}(365-n)}\leq\frac{1}{2}$
$(1) \Leftrightarrow$ $\frac{365*364*...*365-n+1}{365^n}\leq\frac{1}{2}$
$(1) \Leftrightarrow$ $\frac{365}{365}*\frac{364}{365}*...*\frac{365-n+1}{365}\leq\frac{1}{2}$

J'ai donc utiliser cette équivalence pour deduire qu'elle forme en fontion, une courbe décroissante. J'ai pu faire un encardré avec ma courbe tracée, et j'ai trouvé en tatonnant quelque peu :

$24\leq\frac{1}{2}$

Mais est il possible de résoudre cette équation sans passer par une courbe et un encadré ?

Merci pour votre aide !

Cordialement
Charles

Réponses

  • Mon anniversaire est le même jour que celui de mon voisin de classe !
    Etonnant non ?

    A priori, on ne peut s'en sortir qu'avec la monotonie de la suite, et en tatonnant...
  • ça casse le mythe ! Moi qui croyait les mathématiques magiques, chui dessu. =]

    Mais alors on aurait pas pus trouver la solution exacte dans $\R$ ???
  • Désolé pour l'othographe mais on ne peut pas modifier (je crois) le message.
  • Bah ca devrait être possible en utilisant Stirling, ça doit être une véritable boucherie mais ca doit être possible ! (y a des trucs qui doivent se simplifier...)
    Amicalement Micke
  • Bonjour!
    J'en profite pour demander si quelqu'un a deja traite cette equation fonctionnelle:
    $sur \R: e^{f(x)}=\alpha f(x)$
    merci d'avance :)

    amicalement :)
    je sens que ca va pas etre evident, en esperant que je me trompe...
  • heu .... est ce que quelqu'un pourait m'expliquer qu'est ce que Stirling ?!
    et qu'est t'il possible de simplifier ?
  • Bonjour!
    Cadeau:
    $Formule de Stirling:$
    lorsque x tends vers +00
    $n! \sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$
    en esperant que Latex passe.

    amicalement :)
  • Ca resout pas vraiment le probleme de maniere exacte,
    mais ca donne une idee, surtout si on veut remplacer 365 par un
    entier quelconque!!!

    Ton n minimal verifiant l'equation est de l'ordre $\sqrt{365}$.

    En effet, si tu developpes ton produit:

    \[1.\left(1-\frac{1}{365}\right).\left(1-\frac{2}{365}\right)....\left(1-\frac{n}{365}\right),\]

    Tu obtient une somme commencant par:
    \[1-\frac{n.(n+1)}{2.365}+\frac{n.(n+1).(n-1).(3n+2)}{24.365^2}-...\]

    La suite des termes peuvent se calculer a l'aide des sommes des
    puissances des entiers successifs. Il faut justifier que comme n est petit
    par rapport a 365, les termes suivants vont etre de plus en plus negligeables.

    Si l'on ne considere le terme principale, il suffit d'avoir $k(k+1)>365$.

    Bon, bien sur, ca donne pas 24, mais c'est pas si loin, mais si on considere
    les deux premiers termes, on obtient bien 24!!!!


    Bien a vous,

    Le p'tit bonhomme
  • Bonjour!
    Je patoge litteralement sur mon equation fonctionnelle :s
    $sur \R$ avec $\alpha \in \R$
    $e^{f(x)}=\alpha f(x)$
    en derivant on obtient:
    $f'(x)e^{f(x)}=\alpha f'(x)$
    $e^{f(x)}=\alpha = \alpha f(x)$
    donc $f(x) = constante= 1 $
    donc $e^1= \alpha$ soit $e=\alpha$
    donc: $e^{f(x)}= ef(x)$

    quelqu'un voit autres choses? ou même peut resoudre cette equation?

    amicalement :)
    je ne veux pas deriver le sujet, il me semble qu'on peut en faire quelque chose par rapport à la question initialement posee...
  • Mais on a pas de très gros nombre ... la formule de Stirling reste assez précise ?
  • Bonjour!
    Deja il faut que n tende vers l'infini
    et ensuite on peut etablir une meilleure precision de la formule il me semble...

    amicalement :)
  • Quelqu'un pourrait m'expliquer en Détail comment Ptit bonhomme passe de sa première expression à la deuxième svp ? Parce que là je comprends plus =P
  • Bonjour!
    Question un peu delicate (comme souvent de ma part, desole)
    peut on faire un DL de $f(x) = x!$?
    Ca sous entend bien sur la question:
    $f(x) = x!$ est elle de classe Cn sur $\R$ ou $\C$? et comment peut on trouver une derivee de cette fonction?

    amicalement :)
    je sens que je vais dans le mur :s
  • Passer à $x! = \int _0 ^\infty e^{-t} t ^x dt$
  • Bonjour!
    Est-ce que tu peux detailler comment tu derives; y a t'il des problemes avec les bornes de l'integrale? comment derive t'on une integrale en dt alors qu'on a x!? enfin bref pourrais tu deriver pour moi?
    merci d'avance...

    amicalement :)
    un incapable qui commence à se fasciner pour les fonctions gamma et zeta...
  • En admettant que la fonction ainsi définie est $C\infty$ (pas compliqué mais chiant avec les théorèmes de spé)


    On a en considérant que Gamma prolonge la factorielle

    $(x!) ^ {(n)} = \int _0 ^{\infty} (ln\, t)^n t^x e^{-t}\, dt$

    (on dérive en fait à "l' intérieur de l' intégrale")
    (on a le droit, mais le théorème qui autorise cette manipulation fait une page)

    Et donc

    Soit $x_0 \in \R^{+*}$

    $\displaystyle{x! = \sum_{k=0}^{n} \int _0 ^{\infty} \frac{(ln\, t)^k}{k!} (x-x_0)^k\, t^{x_0} e^{-t}\, dt } + o ((x_0!)^n)$
  • lire $o(x_0^n)$ bien sur
  • Bonjour!
    Magnifique!
    merci

    amicalement :)
  • Re-salut tout le monde!!!

    Et en particulier a Charles qui veut une explication
    sur le developpement du produit:

    En fait, le developpement est:

    \[\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{\sum_{\substack{I\subset [1,n] \\|I|=i}}\left(\prod_{k\in I}k\right)} {365^i}.\]


    Pour i=0, ca donne 1;
    Pour i=1, le numerateur donne $\sum_{k=1}^nk=\frac{n.(n+1)}{2}$;

    Et pour i=2, on obtient

    \begin{eqnarray*}
    \sum_{\substack{a\neq b\\ a\in [1,n]\\ b\in [1,n]}}ab & = &\frac{1}{2}. \left(\sum_{k=1}^nk\right)^2-\frac{1}{2}.\left(\sum_{k=1}^nk^2\right)\\
    & = \frac{n^2(n+1)^2}{8}-\frac{n.(n+1).(2n+1)}{12}
    \end{eqnarray*}

    Il suffit de simplifier un peu pour retrouver le second terme tel que je l'avais ecrit.

    Je me pose une question, Charles, d'ou te viens ce probleme??
    J'imagine que le 365 tient pour le nombre de jour de l'annee, mais
    quel est l'enonce du probleme??

    A plus,

    Le p'tit bonhomme
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